[論文レビュー] Mirror symmetry and T-duality in the complement of an anticanonical divisor

Denis Auroux|ArXiv.org|Jun 21, 2007

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 25被引用数 295

ひとこと要約

この論文は、コンパクトなカーラー多様体における反標準的除算子の補集合において、ミラー対称性とT双対性を調査し、平坦なU(1)接続を伴う特別ラグランジュ環のモジュライ空間を介してミラー構成を提案し、m₀障害によって定義されるスーパopotentialを導入する。量子補正がマスロフ指数0の円板から生じることは不可欠であることが示され、フォーカビカテゴリのミラーと除算子上の連続的層の導来カテゴリを結ぶ相対的ホモロジカルミラー対称性の予想に証拠を提供する。

ABSTRACT

We study the geometry of complexified moduli spaces of special Lagrangian submanifolds in the complement of an anticanonical divisor in a compact Kahler manifold. In particular, we explore the connections between T-duality and mirror symmetry in concrete examples, and show how quantum corrections arise in this context.

研究の動機と目的

• 非カラビ＝ヤウ設定におけるミラー対称性とT双対性の幾何的関係を理解すること。特に、反標準的除算子の補集合において。
• カラビ＝ヤウでない多様体の場合に、マスロフ指数0の正則的円板からの量子補正がミラー構成に与える影響を調査すること。
• フォーカビカテゴリのミラーと除算子上の連続的層の導来カテゴリを結ぶ相対的ホモロジカルミラー対称性の予想を提示し、証拠を提供すること。
• ストロマージン＝ヤウ＝アズロフ予想をカラビ＝ヤウ多様体を超えて、非コンパクトかつ非カラビ＝ヤウな設定における特別ラグランジュファイブレーションを分析することで拡張すること。
• スーパォテンシャルm₀がミラーLandau-Ginzburgモデルを定義する役割を示し、量子コホモロジーとウォールクロッシング現象との関係を明らかにすること。

提案手法

• X\Dにおける特別ラグランジュ環と平坦なU(1)接続のモジュライ空間としてミラー多様体Mを構成する。
• フォーカビ＝オウ＝オータ＝オノ理論におけるm₀障害を用いて、W: M → ℂ としてスーパopotential Wを定義する。これはフロアホモロジーを定義するための障害を測る。
• 特別ラグランジュ多様体の複素化されたモジュライ空間の幾何を分析し、ψ-調和1形式とその変形論における役割に焦点を当てる。
• 境界がM_D = {z_δ = 1} に属するミラーにおける許容的ラグランジュ多様体を導入し、ウォールクロッシングの影響を受けてもフロアホモロジーが適切に定義されることを保証する。
• リスケーリング極限（予想4.4）を用いてスーパopotentialをW = z_δ + o(1) に簡略化し、ウォールクロッシングに起因する複雑さを除去する。
• ミラーのフォーカビカテゴリからM_Dへの制限関手ρを提案し、ミラーにおけるAモデルと除算子DにおけるBモデルを結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファンオーやカーラー多様体における反標準的除算子の補集合において、T双対性はミラー対称性とどのように関係するか？
• RQ2 多様体がカラビ＝ヤウでない場合に、マスロフ指数0の正則的円板からの量子補正は、ミラー構成においてどのような役割を果たすか？
• RQ3 特別ラグランジュ多様体のモジュライ空間におけるウォールクロッシング現象が存在する中で、スーパopotential m₀を一貫して定義する方法は何か？
• RQ4 スーパopotentialの臨界値と元の多様体Xの量子コホモロジーとの関係は何か？
• RQ5 ミラーLandau-Ginzburgモデルのフォーカビカテゴリが、反標準的除算子D上の連続的層の導来カテゴリをどのようにカテゴリカルにミラーするか、その程度はいかほどか？

主な発見

• m₀障害を介して定義されたスーパopotential Wは、ウォールクロッシングのため多価的であるため、単純なミラー予想には修正が必要である。
• マスロフ指数0の正則的円板からの量子補正は、カラビ＝ヤウの場合と同様の役割を果たすと予想され、ミラー幾何を変更する。
• 特別ラグランジュ環から構成されたミラー多様体Mは不完全であるため、予想4.4で提案された正規化極限が必要である。
• 境界がM_Dに属するミラーMにおける許容的ラグランジュ多様体は、ウォールクロッシングの影響を受けても、適切に定義されたフロアホモロジー理論を可能にする。
• 制限関手ρ: F(M, M_D) → F(M_D) は適切に定義されており、デル・ペッツォ表面などの既知の例と一致する期待される振る舞いを示す。
• 予想7.7の証拠が提供される：XおよびDにおける連続的層の導来カテゴリと、MおよびM_Dにおけるフォーカビカテゴリを結ぶ可換図式が得られ、相対的ホモロジカルミラー対称性を示唆する。