[論文レビュー] A `relative' local Langlands correspondence

Dipendra Prasad|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 23被引用数 29

ひとこと要約

本稿は、局所体 E/F が二次拡大であるとき、G(E) の既約適切表現で G(F) に不変な線形形式を持つものについて、Langlands パラメータを用いて分類する「相対的」局所 Langlands 対応の予想を提示する。主な結果は、G(F)-不変線形形式の次元が、PGL₂(ℂ) から GL₂(ℂ) への L パラメータの異なる上への持ち上げの数に一致することを示し、L 群のパラメータ空間間の幾何的写像を用いて高ランク群への一般化を達成する。

ABSTRACT

For $E/F$ quadratic extension of local fields and $G$ a reductive algebraic group over $F$, the paper formulates a conjecture classifying irreducible admissible representations of $G(E)$ which carry a $G(F)$ invariant linear form, and the dimension of the space of these invariant forms, in terms of the Langlands parameter of the representation. The paper studies parameter spaces of Langlands parameters, and morphisms between them associated to morphisms of $L$-groups. The conjectural answer to the question on the space of $G(F)$-invariant linear forms is in terms of fibers of a particular finite map between parameter spaces.

研究の動機と目的

• . G(E) の既約適切表現で G(F) に不変な線形形式を持つものを分類する予想を提示すること。
• . G(F)-不変線形形式の空間の次元を Langlands パラメータの観点から理解すること。
• . L パラメータ空間の幾何的構造を用いて、SL(2) の場合を高ランク再帰的群に一般化すること。
• . 基底拡大における L パラメータの異なる持ち上げの数と不変形式の多重度との関係を特定すること。
• . ファンクター的な L パラメータ空間間の写像を用いて、ガロアの場合の相対 Langlands プログラムの枠組みを提供すること。

提案手法

• . Langlands-Vogan パラメータ化を用いて、G(E) の表現を Weil-Deligne 群から L 群 LG へのホモーモルフィズムに対応付ける。
• . L 群 LG₁ および LG₂ に対して、X₁ = Hom(W'F, LG₁(ℂ)) および X₂ = Hom(W'F, LG₂(ℂ)) というパラメータ空間を構成する。
• . 適切な L パラメータを分類するための商空間 X₁//bG₁(ℂ) および X₂//bG₂(ℂ) を研究する。
• . ホモーモルフィズム LG₁ → LG₂ によって誘導される有限写像 Φ: X₁//bG₁(ℂ) → X₂//bG₂(ℂ) を解析し、特に二次的基底拡大の文脈で考察する。
• . bG₁(ℂ) および bG₂(ℂ) の作用における点の安定化部分群を検討し、特に連結成分に注目することで多重度と関連付ける。
• . 特にトーラス、SL(2)、GL(n)、ユニタリ群、実再帰的群の具体例にこの枠組みを適用し、コhomological および幾何的道具を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 . 既約適切表現 π の G(F)-不変線形形式の空間は、π の Langlands パラメータを用いてどのように特徴付けられるか？
• RQ2 . G(F)-不変形式の多重度と、PGL₂(ℂ) から GL₂(ℂ) への L パラメータの異なる持ち上げの数との正確な関係は何か？
• RQ3 . L パラメータ空間の幾何的構造を用いて、SL(2) から高ランク群への相対的 Langlands 対応はどのように一般化されるか？
• RQ4 . アーキメデス的の場合に、GLₙ(ℂ) の主系列表現 π に対して、HomU(k+r,k+s)(π, ℂ) の次元は何か？
• RQ5 . 純内包的変形を伴うコンパクト群 G は、開軌道の数と、誘導表現上の不変線形形式の数にどのように影響を与えるか？

主な発見

• . SL(2) の場合、SL(2,E) の表現 π における SL(2,F)-不変線形形式の空間の次元は、WE → PGL₂(ℂ) への L パラメータ σπ の、PGL₂(ℂ) への異なる持ち上げ ˜σπ の数に等しい。
• . GLₙ(ℂ) の場合、HomU(k+r,k+s)(π, ℂ) の次元は二項係数 (ℓ r) で与えられ、ここで ℓ は Langlands パラメータに含まれる自己双対な特徴の数であり、r + s = ℓ のときのみ非ゼロである。
• . 全ての p + q = n に対する dim HomU(p,q)(π, ℂ) の和は 2ℓ に等しく、これは GLₙ(ℝ) からの基底拡大によって Langlands パラメータが得られる方法の数に一致する。
• . 実再帰的群の場合、Gα(ℝ) が G(ℂ)/B(ℂ) に作用する開軌道の数は WG/WKα であり、それぞれがちょうど一つの不変線形形式を寄与する。これにより、純内包的変形すべてを合わせて 2d 個の不変線形形式が得られ、ここで d は G(ℂ) のランクである。
• . T_op(ℝ) から T(ℂ) への特徴の基底拡大の異なる数は正確に 2d 個であり、これは純内包的変形の数と不変線形形式の総多重度に一致する。
• . アーキメデス的場合のユニタリ群に対する予想は、パラメータ空間の幾何的構造とガロア群による特徴の作用と整合しており、ℓ < n のとき開軌道上で線形形式は消える。