[論文レビュー] Symplectic local root numbers, central critical L-values, and restriction problems in the representation theory of classical groups

Wee Teck Gan, Benedict H. Gross+1 more|ArXiv.org|Sep 16, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 67被引用数 301

ひとこと要約

本稿は、シンプレクティック局所根数、中心的臨界L値、および古典的群から部分群への既約表現の制限における多重度1現象を結びつける洗練された予想的枠組みを提案する。Langlands-Voganパラメータ化とVogan L-パケットを用いて、各L-パケット内にちょうど一つの一般表現が一意なH不変汎関数を持つことを予測し、その一意性が根数と成分群の特徴により中心L値の非消滅と関連していることを示す。

ABSTRACT

We consider several questions about restriction of representations of classical and metaplectic groups over local and global fields to subgroups, extending considerably the scope of the earlier work on $SO(n),SO(n-1)$. This includes Bessel and Fourier-Jacobi models too. We formulate several conjectures about these restriction problems involving root numbers of symplectic representations in the local case, and central critical L-value in the global case. Along the way we prove several results both in number theory and representation theory.

研究の動機と目的

• 古典的群から部分群への既約表現の制限に関して、特に多重度1現象に注目して、局所的および大域的予想を明確に定式化すること。
• 中心的臨界L値の非消滅と、表現における一意なH不変汎関数の存在との間の関係を確立すること。
• Langlandsパラメータと成分群の特徴を用いて、BesselモデルおよびFourier-Jacobiモデルに関する以前の予想を統合的かつ一般化すること。
• 根数およびL-パケット幾何学に関する構造定理を用いて、一般の制限問題を基本的ケース（dim V - dim W = 0 または 1）に還元すること。
• Chow群およびシムーラ型多様体上の自動形式を用いて、中心的臨界L値のコホロジー的およびモチーフ的解釈を提供すること。

提案手法

• Weil-Deligne群の複素Lパラメータを用いて、古典的群およびメタプレクティック群の既約表現を分類するLanglands-Voganパラメータ化を用いる。
• Lパラメータのシンプレクティック根数を用いて、Lパラメータの中心化群の成分群の区別される特徴を構成する。
• 各Vogan L-パケット内にちょうど一つの一般表現が、dim Hom_H(π ⊗ ν̄, ℂ) = 1 を満たすことを示す局所予想を提示する。この一意性は区別される特徴によって決定される。
• Matsushimaの公式およびコホロロジー的技法を用いて、シムーラ多様体の自動形式的コホロロジーと表現の多重度との関係を関連付ける。
• 非アーチメデス的局所体上でのBesselおよびFourier-Jacobiモデルの一意性に関する定理を用いて、一般の制限問題をdim V - dim W = 0 または 1 の基本的ケースに還元する。
• シムーラ多様体内のサイクルの大域的幾何を用いて、自動形式表現の中心的臨界L値とChow群上の高さペアリングの非消滅との関係を結ぶ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的群のどの既約表現が部分群Hへの制限において一意なH不変汎関数を持つのか？
• RQ2 シンプレクティック局所根数および成分群の特徴は、Vogan L-パケット内での多重度1性質をどのように決定するのか？
• RQ3 中心的臨界L値の第一導関数の非消滅と、非ゼロのH不変汎関数の存在との間の正確な関係は何か？
• RQ4 古典的群の制限問題を、dim V - dim W = 0 または 1 を含む基本的ケースにどのように還元できるか？
• RQ5 シムーラ多様体上のコホロロジー的およびChow理論的構成は、自動形式の多重度およびL関数の振る舞いをどの程度反映するのか？

主な発見

• 本稿は、非アーチメデス的局所体上でのBesselおよびFourier-Jacobiモデルに関して、d(π) ≤ 1 がほとんどすべてのケースで成り立つことを証明し、問題を基本的ケースに還元した。
• メタプレクティック群の既約表現が、奇数次特殊直交群の表現を用いて分類可能であることを確立し、Kudla-Rallisの結果を一般化した。
• 補題5.2において、共役双対表現に対して、直交根数のDeligneの公式の一般化を証明した。
• 定理8.1において、古典的群およびユニタリ群のLパラメータを簡略化された形で記述した。
• 局所予想が、加法的特徴χの選択にかかわらず一貫しており、ケースごとに依存関係のパターンが異なる（直交、ヘルミート、シンプレクティック、歪ヘルミート）。
• 精錬された大域予想（予想27.1）を提示した。この予想は、L′(π₀, R, 1/2) ≠ 0 が、π_f が CH^{n-1}(Σ(G), ℱ) に多重度1で埋め込まれ、かつΣ(H)との高さペアリングが非ゼロであるときにかつそのときに限り成り立つと述べている。