[論文レビュー] A relative Riemann-Hurwitz theorem, the Hurwitz-Hodge bundle, and orbifold Gromov-Witten theory

Tyler J. Jarvis, Takashi Kimura|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、可換 G-被覆に対して、表現環値の相対リーマン・フルヴィッツ公式を確立し、基底曲線のホッジ bundle を用いて、ハーツィット・ホッジ bundle の G-加群構造を記述する。これは、0次のオルビフォールド・グロモフ＝ウィッテン不変量の仮想的クラスを G-被覆に依存しない明示的記述を与え、任意の後続ハーツィット・ホッジ積分を計算するための新しい微分方程式を導出し、[C³/Z₃] における鏡映性の予測を genus 0 および 1 で検証する。

ABSTRACT

Abstract. We provide a formula describing the G-module structure of the Hurwitz-Hodge bundle for admissible G-covers in terms of the Hodge bundle of the base curve, and more generally, for describing the G-module structure of the push-forward to the base of any sheaf on a family of admissible G-covers. This formula can be interpreted as a representation-ring-valued relative Riemann-Hurwitz formula for families of admissible G-covers. This formula yields an explicit description, without reference to G-covers, of the virtual class for orbifold Gromov-Witten invariants of a global quotient in degree zero. It also yields a new differential equation which computes arbitrary descendant Hurwitz-Hodge integrals. For G = Z2 and genus zero, we obtain Hurwitz-Hodge integrals due to Faber-Pandharipande. We also calculate some Hurwitz-Hodge integrals for G = Z3. In particular, we calculate some Gromov-Witten invariants of [C 3 /Z3] and show agreement with the predictions from mirror symmetry due to Aganagic-Bouchard-Klemm in genus zero and one. Contents

研究の動機と目的

• 可換 G-被覆上のハーツィット・ホッジ bundle の G-加群構造を、基底曲線のホッジ bundle を用いて記述する公式を導出すること。
• この公式を、可換 G-被覆の族上の任意の層の押し出しに一般化すること。
• G-被覆の構成に依存しない、0次のグローバル商のオルビフォールド・グロモフ＝ウィッテン不変量の仮想的クラスの記述を提供すること。
• 任意の後続ハーツィット・ホッジ積分を計算するための微分方程式を確立すること。
• アガナティク・ブーチャード・クレムの予測を確認するため、G = Z₃ に対して genus 0 および 1 での特定のグロモフ＝ウィッテン不変量を計算すること。

提案手法

• 群表現論と可換 G-被覆上の層の押し出しを用いて、表現環値の相対リーマン・フルヴィッツ公式を導出する。
• ハーツィット・ホッジ bundle の G-加群構造を、G の既約表現と基底曲線のホッジ bundle の組み合わせとして表現する。
• この公式を用いて、0次のグローバル商へのオルビフォールド安定写像のモジュライ空間の仮想的クラスを計算する。
• 後続ハーツィット・ホッジ積分の母関数を支配する新しい微分方程式を導入する。
• G = Z₂ および G = Z₃ に特化して、明示的な積分を計算し、既知の結果および鏡映性の予測と一致させる。
• この公式を用いて、[C³/Z₃] の genus 0 および 1 におけるグロモフ＝ウィッテン不変量を計算し、アガナティク・ブーチャード・クレムの予測を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換 G-被覆上のハーツィット・ホッジ bundle の G-加群構造は、基底曲線のホッジ bundle を用いてどのように記述できるか？
• RQ2 G-被覆に依存しない、グローバル商へのオルビフォールド安定写像のモジュライ空間の仮想的クラスはどのように記述できるか？
• RQ3 任意の後続ハーツィット・ホッジ積分を計算するための微分方程式を導出できるか？
• RQ4 G = Z₃ に対して計算されたハーツィット・ホッジ積分は、[C³/Z₃] の genus 0 および 1 における鏡映性の予測と一致するか？
• RQ5 新しい公式を用いて、[C³/Z₃] のどの明示的なグロモフ＝ウィッテン不変量を計算できるか？また、それらは既存の予測とどのように比較できるか？

主な発見

• 本稿は、可換 G-被覆のハーツィット・ホッジ bundle の G-加群構造を記述する表現環値の相対リーマン・フルヴィッツ公式を提供する。
• 0次のグローバル商のオルビフォールド・グロモフ＝ウィッテン不変量の仮想的クラスは、G-被覆データに依存しない明示的記述がなされている。
• 任意の後続ハーツィット・ホッジ積分の計算を支配する新しい微分方程式が導出された。
• G = Z₂ および genus 0 に対して、公式はファーバー・パンダリパーンデによる以前のハーツィット・ホッジ積分を回復する。
• G = Z₃ に対して、特定のハーツィット・ホッジ積分および [C³/Z₃] のグロモフ＝ウィッテン不変量が計算され、genus 0 および 1 における鏡映性の予測と一致することが確認された。
• この手法により、[C³/Z₃] の低 genus におけるグロモフ＝ウィッテン不変量の明示的計算が可能となり、アガナティク・ブーチャード・クレムによる理論的予測が検証された。