[論文レビュー] A remark on compact Kähler manifolds with nef anticanonical bundles and its applications

Junyan Cao|arXiv (Cornell University)|May 19, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 27被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、コンパクト・カーラー多様体で反標準 bundle が nef である場合、$(\omega_X)^{n-1}$ による極化のもとで、接束のハーディング＝ナラシンハン分解の勾配が半正定であることを確立する。この結果を用いて、有理的連結多様体の新たな解析的特徴付けを提示し、アーベリアン写像の全射性および codimension-2 の滑らかさについて、代数的結果をカーラー設定へと拡張する完全な解析的証明を与える。

ABSTRACT

Let $(X, ω_X)$ be a compact Kähler manifold such that the anticanonical bundle $-K_X$ is nef. We prove that the slopes of the Harder-Narasimhan filtration of the tangent bundle with respect to a polarization of the form $ω_X^{n-1}$ are semi-positive. As an application, we give a characterization of rationally connected compact Kähler manifolds with nef anticanonical bundles. As another application, we give a simple proof of the surjectivity of the Albanese map.

研究の動機と目的

• コンパクト・カーラー多様体で反標準 bundle が nef である場合、$(\omega_X)^{n-1}$ による極化のもとで、接束のハーディング＝ナラシンハン分解の勾配が半正定であることを証明すること。
• テンソル冪の余接束のグローバルセクションの消滅を用いた、反標準 bundle が nef である有理的連結なコンパクト・カーラー多様体の新たな解析的特徴付けを提供すること。
• このような多様体に対して、アーベリアン写像の全射性および codimension-2 の滑らかさについて、純粋に解析的な証明を提示し、以前は射影的状況でのみ知られていた結果をカーラー設定に拡張すること。
• 摂動された nef 行列に対する $c_2(T_X)$ の積分の非負性に関する新しい結果を確立し、等号成立時の構造定理を提示すること。

提案手法

• $(\omega_X)^{n-1}$ に関するハーディング＝ナラシンハン分解を用いた、特異計量の族と直接的な解析的議論により、ハーディング＝ナラシンハン勾配の半正定性を証明する。
• 解体 $\pi: \widetilde{X} \to X$ を介した接束の引き戻しにブッホナー技法を適用し、分解の安定な商のヒルベルト＝アインシュタイン計量を用いる。
• 分解の商の勾配の一様な下界を用いて、$\pi^*(T_X)^{\otimes m}$ 上に滑らかな計量 $h_\epsilon$ を構成し、$i\Theta_{h_\epsilon}(\pi^*T_X^{\otimes m}) \wedge (\pi^*\omega + \epsilon \omega_{\widetilde{X}})^{n-1} \geq \frac{m \cdot c}{4} \text{Id}$ を満たすようにする。
• ある種の電流 $T_\epsilon$ の完全性とその一様な $L^1$-有界性に基づく背理法を用いて、特定のセクションが消えることを示す。
• ホーリングのアイデアを用い、$\int_X c_2(T_X) \wedge (c_1(-K_X) + \epsilon \omega_X)^{n-2}$ の非負性をハーディング＝ナラシンハン分解の半正定性と関連付ける。
• 文献 [CDP12] の基準を適用し、グローバルセクションの消滅をハーディング＝ナラシンハン分解の勾配条件に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト・カーラー多様体で反標準 bundle が nef である場合、$(\omega_X)^{n-1}$ による極化のもとで、接束のハーディング＝ナラシンハン分解の勾配は半正定か？
• RQ2 反標準 bundle が nef である有理的連結なコンパクト・カーラー多様体は、すべての $m \geq 1$ に対して $H^0(X, (T_X^*)^{\otimes m})$ の消滅によって特徴付けられるか？
• RQ3 反標準 bundle が nef であるコンパクト・カーラー多様体に対して、アーベリアン写像は全射的であり、codimension-2 の部分多様体を除いて滑らかか？
• RQ4 $\epsilon > 0$ が十分小さいとき、第二 Chern 類 $c_2(T_X)$ に対して $\int_X c_2(T_X) \wedge (c_1(-K_X) + \epsilon \omega_X)^{n-2} \geq 0$ が成り立つか？

主な発見

• 任意のコンパクト・カーラー多様体で $-K_X$ が nef であるとき、$\omega_X^{n-1}$ に関する $T_X$ のハーディング＝ナラシンハン分解の勾配は半正定である。
• 命題 1.3 の (i)～(iv) の4条件は同値である：すべての $m \geq 1$ に対して $H^0(X, (T_X^*)^{\otimes m})$ の消滅、有理的連結性、および $\omega_X^{n-1}$ に関する接束の厳密正定性。
• 任意のコンパクト・カーラー多様体で $-K_X$ が nef であるとき、アーベリアン写像は全射的であり、codimension 2 以上の部分多様体を除いて滑らかである。
• $\epsilon > 0$ が十分小さいとき、$\int_X c_2(T_X) \wedge (c_1(-K_X) + \epsilon \omega_X)^{n-2} \geq 0$ であり、等号成立のときは $X$ がトーラスの有限エタール被覆またはトーラス上への $\mathbb{P}^1$-ファイブレーションである。
• $m$ を $k$ に対して十分大きくとったときの $H^0(X, (T_X^*)^{\otimes m} \otimes F^{\otimes k})$ の消滅の証明は、従来の研究で用いられた代数的技法を避ける完全な解析的証明である。
• この結果は、従来の射影的状況に限られていた結果を、一般のカーラー設定、すなわち代数的でない多様体を含む一般の状況へと拡張する。