[論文レビュー] Relative adjoint transcendental classes and Albanese maps of compact Kaehler manifolds with nef Ricci curvature

Mihai Păun|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 22被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、コンpact Kählerなファイブレーションに正のリッチ曲率をもつ場合、fiberwiseの正性条件のもとで、相対的随伴超越的類 $c_1(K_{X/Y}) + \{\beta\}$ に閉じた正の電流が存在することを確立する。主な貢献は、度合のない反 canonical bundle をもつコンpact Kähler多様体のアーベリアン写像の全射性を、twisted Kähler-Einstein計量の計量的アプローチと複素Monge-Ampère方程式による曲率推定により証明することにある。

ABSTRACT

Given a surjective holomorphic map between two compact Kaehler manifolds, we investigate the positivity properties of relative adjoint transcendental classes which are inherited from similar fiberwise properties. As a consequence, we solve a problem proposed by J.-P. Demailly, T. Peternell and M. Schneider concerning the Albanese morphism of Kaehler manifolds with nef anticanonical class.

研究の動機と目的

• fiberwise Kähler条件のもとで、相対的随伴類 $c_1(K_{X/Y}) + \{\beta\}$ の正性性を確立すること。
• 計量的手法を用いて、twisted canonical bundle の結果を超越的コホモロジー類へ一般化すること。
• 度合のない反 canonical bundle $-K_X$ をもつコンpact Kähler多様体に対して、アーベリアン写像の全射性を証明し、既知の射影的結果をKähler設定へ拡張すること。
• 非代数的Kähler多様体に対する、随伴超越的類理論の計量的バージョンを開発すること。

提案手法

• 複素Monge-Ampère方程式を用いて、$X_0 = p^{-1}(Y \setminus W)$ 上でfiberwise twisted Kähler-Einstein計量を構成すること。
• $X_0$ 上で半正であるような、$c_1(K_{X/Y}) + \{\beta\}$ に属する閉じた正の電流 $\Theta$ の構成。
• Ohsawa-Takegoshiの拡張定理と近似定理を用いて、$X \setminus X_0$ の近傍における特異性を制御すること。
• アーベリアン写像の全射性問題を、アーベリアン準同型の像の特異点解消を経由して、相対的canonical bundle の正性に還元すること。
• 定義1.2における計量的ネフ性を用いて、代数的ネフ性の概念を超越的コホモロジー類へ一般化すること。
• 線分束理論に代えて計量的正性を用いることで、[34]および[45]の技術をKähler設定へ適応すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対的随伴類 $c_1(K_{X/Y}) + \{\beta\}$ が、ファイブレーションの滑らかさ領域上で半正である閉じた正の電流を含む条件は何か？
• RQ2 射影的仮定を課さずに、度合のない反 canonical bundle $-K_X$ をもつコンpact Kähler多様体に対して、アーベリアン写像の全射性を確立できるか？
• RQ3 計量的正性を用いて、非代数的Kähler多様体へ随伴超越的類理論をどのように拡張できるか？
• RQ4 $c_1(K_{X_y}) + \{\beta\}|_{X_y}$ のfiberwise正性が、相対的類のグローバル正性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 相対的随伴類 $c_1(K_{X/Y}) + \{\beta\}$ は、ファイブレーションの滑らかさ領域 $X_0$ 上で半正である閉じた正の電流 $\Theta$ を含む。
• $\beta$ がKähler計量であれば、$X_0$ の任意の相対的コンパクトな開集合上で $\Theta$ はKähler計量を支配する。
• $\beta \geq p^*\gamma$ が $Y$ 上の$(1,1)$-形式 $\gamma$ に対して成り立つならば、$\Theta \geq p^*\gamma$ である。
• 任意のコンpact Kähler多様体 $X$ に対して、$-K_X$ が計量的意味でネフであれば、アーベリアン写像 $\alpha_X: X \to \mathrm{Alb}(X)$ は全射である。
• 特徴的 $p$ の方法ではなく計量的技術を用いることで、Zhangの射影的全射性定理をKähler圏へ拡張した。
• 主定理の特異版の予想が提示され、$\{\beta\}$ が可積分性条件を満たす正の電流をもつ場合に一般化されたklt対をKähler設定へ拡張する。