[論文レビュー] A remark on constant scalar curvature Kähler metrics on minimal models

Wangjian Jian, Yalong Shi+1 more|arXiv (Cornell University)|May 17, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、コンpactなケーラー多様体の標準束が半アーマーである場合に、定スカラー曲率ケーラー（cscK）計量の存在を示している。任意のケーラー類 $[\omega]$ に対して、十分に小さな $\delta > 0$ に対して、ケーラー類 $[K_X] + \delta[\omega]$ に一意にcscK計量が存在することを示している。証明はマブーチKエネルギーの正規性と、Chen-ChengおよびWeinkoveの基準に依拠しており、一般型でない場合の最小モデルへの結果の拡張を実現し、canonical modelにおけるねじれ付きケーラー＝アインシュタイン計量へのGromov-Hausdorff収束に関する予想を支持する。

ABSTRACT

In this short note, we prove the existence of constant scalar curvature Kähler metrics on compact Kähler manifolds with semi-ample canonical bundles.

研究の動機と目的

• コンパクトなケーラー多様体に半アーマー標準束を持つ場合の定スカラー曲率ケーラー（cscK）計量の存在を確立すること。
• 一般型でない場合に、特に最小モデルおよび最小モデルプログラムの文脈において、既知のcscK計量の結果を一般化すること。
• ケーラー類の退化に伴い、cscK計量がcanonical model上のねじれ付きケーラー＝アインシュタイン計量へとつながる幾何的枠組みを提供すること。
• ケーラー類が退化する際のcscK計量がcanonical計量へとGromov-Hausdorff収束および滑らかさの意味で収束するという予想を支持・一般化すること。
• 特に一般型でない設定において、ケーラー＝リッチフローの振る舞いを調査すること、特にcanonical計量への収束を検討すること。

提案手法

• Weinkove、Song-Weinkove、Li-Shi-Yaoが開発したマブーチKエネルギーの正規性基準を用いて、cscK計量の存在を保証する。
• Chen-Chengによる変分的アプローチによるcscK計量の存在結果を、$[K_X] + \delta[\omega]$ というケーラー類に適用する。
• 半アーマー性により、$\eta \in [K_X]$ が非負の滑らかな $(1,1)$-形式であることを用いて、$\chi_\delta = \eta + \delta\omega$ というケーラー形式の族を構成する。
• スカラー曲率係数 $c_\delta = \frac{[K_X]\cdot[\chi_\delta]^{n-1}}{[\chi_\delta]^n}$ の漸近展開を用いて、$c_\delta = \frac{\kappa}{n} + O(\delta)$ が成り立つことを示し、$\kappa = \textnormal{Kod}(X)$ である。
• 十分に小さな $\delta$ に対して、正値条件 $ (nc_\delta + \varepsilon)\chi_\delta^{n-1} - (n-1)\eta \wedge \chi_\delta^{n-2} > 0 $ が成り立つことを確認し、これによりChen-Chengの基準によりcscK条件が満たされることを保証する。
• 半アーマー性を活用して、$0 < \delta < 1$ に対して $\alpha_X([K_X] + \delta[\omega]) \geq \alpha_X([K_X] + [\omega]) > 0$ が成り立つことから、ケーラー類の変形を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準束 $K_X$ が半アーマーであるとき、任意のケーラー類 $[\omega]$ に対して、十分に小さな $\delta > 0$ に対して、ケーラー類 $[K_X] + \delta[\omega]$ に一意な定スカラー曲率ケーラー計量が存在するか？
• RQ2 $\delta \to 0$ のとき、最小モデル上のcscK計量が、特異ファイバーを除く領域でGromov-Hausdorffおよび滑らかな位相においてcanonical model上のねじれ付きケーラー＝アインシュタイン計量へ収束するか？
• RQ3 ネフ標準束を持つ最小モデル上での正規化ケーラー＝リッチフローが、Gromov-Hausdorff位相においてcanonical計量へ収束し、スカラー曲率が $-\textnormal{Kod}(X)$ へ収束するか？
• RQ4 cscK計量の存在が、カルラヤや負の標準束を持つ多様体のファイブレーションへどのように拡張されるか、特に基底曲線の場合に注目する。
• RQ5 定理1.1における $K_X$ の半アーマー性仮定はどの程度有効であり、豊富性予想のもとでネフ性へ弱める可能性はあるか？

主な発見

• 任意のコンパクトケーラー多様体 $X$ に対して、標準束 $K_X$ が半アーマーであるとき、任意のケーラー類 $[\omega]$ に対して、$\delta_{X,[\omega]} > 0$ が存在し、$0 < \delta < \delta_{X,[\omega]}$ に対して、ケーラー類 $[K_X] + \delta[\omega]$ に一意にcscK計量が存在する。
• スカラー曲率係数 $c_\delta$ は $c_\delta = \frac{\kappa}{n} + O(\delta)$ を満たし、$\kappa = \textnormal{Kod}(X)$ である。これにより、計量族の正しい漸近的挙動が保証される。
• 十分に小さな $\delta$ に対して、正値条件 $ (nc_\delta + \varepsilon)\chi_\delta^{n-1} - (n-1)\eta \wedge \chi_\delta^{n-2} > 0 $ が成り立つ。これは、Chen-Chengの基準によりcscK計量の存在を示すのに十分である。
• $\kappa = 0$ の場合、結果はヤウによるカルラヤ予想の解決に帰着され、$K_X$ が torsion であり、cscK計量がリッチ平坦である。
• 定理1.2は、リーマン面へのファイブレーションにおいて、$L$ が基底上にアーマーであるとき、$[L] + \delta[K_X]$ というクラスにcscK計量が存在することを示しており、Fineの結果を特異ファイバーおよび低Genusの基底へ拡張する。
• 本稿は、予想1.1を支持しており、$\delta \to 0$ のとき、$[K_X] + \delta[\omega]$ 上のcscK計量が、canonical model $X_{\text{can}}$ 上のねじれ付きケーラー＝アインシュタイン計量へ、Gromov-Hausdorffおよび滑らかな位相において収束することを示唆している。