[論文レビュー] Riemannian geometry of Kahler-Einstein currents

Jian Song|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 30被引用数 34

ひとこと要約

本稿は、特異な特徴を持つ特徴的ケーラー＝アインシュタイン接続が付いた射影的カラビ＝ヤウ多様体、もしくは一般型の標準的モデルに対して、その正則部分の距離的完備化が、元の代数的多様体に同相なコンパクトな距離的長さ空間であり、明確に定義された接錐を持つことを確立する。複素ポテンシャル論、$L^2$-推定、およびチーラー＝コールディング理論を用いて、ケーラー＝アインシュタイン多様体が特異な距離的空間に収束することを証明し、代数的コンパクト化のリーマン幾何的実現を提供する。

ABSTRACT

We study Riemannian geometry of canonical Kahler-Einstein currents on projective Calabi-Yau varieties and canonical models of general type with crepant singularities. We prove that the metric completion of the regular part of such a canonical current is a compact metric length space homeomorphic to the original projective variety, with well-defined tangent cones. We also prove a special degeneration for Kahler-Einstein manifolds of general type as an approach to establish the compactification of the moduli space of Kahler-Einstein manifolds of general type. A number of applications are given for degeneration of Calabi-Yau manifolds and the Kahler-Ricci flow on smooth minimal models of general type.

研究の動機と目的

• 特徴的ケーラー＝アインシュタイン接続の特異な射影的多様体におけるリーマン幾何を理解すること。
• このような接続の正則部分の距離的完備化が、元の多様体に同相なコンパクトな距離的長さ空間であることを確立すること。
• 一般型ケーラー＝アインシュタイン多様体の特殊な崩壊結果を証明し、そのモジュライ空間のコンパクト化を可能にすること。
• チーラー＝コールディング理論およびドナルドソン＝サンの$C^0$-推定を、$$-極化および非収縮状態に一般化すること。
• 退化複素モーニエ＝アンペール方程式の解析的弱解と、Gromov-Hausdorff位相における距離的極限の間の同値性を調査すること。

提案手法

• 複素ポテンシャル論を用いて、ケーラー＝アインシュタイン接続の特異なポテンシャルを制御する。
• Hörmanderの$$-方程式の$L^2$-推定を適用し、計量成分の一様な境界を導出する。
• 解像モデル上の勾配推定および$L^2$-推定を用いて、曲率および注ぎ込み半径を制御する。
• チーラー＝コールディング理論を適用し、ケーラー＝アインシュタイン計量の列のGromov-Hausdorff極限を分析する。
• 対数特異点を持つバリア関数を構成し、退化状態における有界でないポテンシャルを扱う。
• 曲率および体積制御を用いて、局所的な点の分離および直径の境界を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴的特徴を持つカラビ＝ヤウ多様体における特徴的ケーラー＝アインシュタイン接続の正則部分の距離的完備化は、元の多様体に同相なコンパクトな距離的長さ空間をもたらすか？
• RQ2 一般型ケーラー＝アインシュタイン多様体の列のGromov-Hausdorff極限は、対数正則特徴を持つ標準的モデルに同相な距離空間として記述可能か？
• RQ3 このような距離的極限の各点における接錐は一意に定義され、代数的アフィン錐と同型か？
• RQ4 一様な直径境界を持つ極化多様体に限らない範囲に、$C^0$-推定フレームワークを$$-極化または実極化ケーラー＝アインシュタイン計量に拡張可能か？
• RQ5 代数的モジュライ空間とケーラー＝アインシュタインモジュライ空間（両者のコンパクト化を含む）は同値か？

主な発見

• 特徴的特徴を持つ射影的カラビ＝ヤウ多様体における特徴的ケーラー＝アインシュタイン接続の正則部分の距離的完備化は、元の多様体に同相なコンパクトな距離的長さ空間である。
• 中心ファイバーにlc特徴がない場合、極限空間$(X_{∞}, d_{∞})$は射影的多様体$X_0$に同相であり、そうでない場合、$X_0 \setminus S_{lc}$（準射影的多様体）に同相である。
• 極限空間の各点における接錐は明確に定義されており、局所的な代数的アフィン錐に対応する。
• ケーラー＝アインシュタイン接続$φ_0$は$X_0 \setminus S_{lc}$上で局所的に有界であり、$S_{lc}$に沿って$-\infty$に近づく。$X_0$が対数終末であれば、$X_t$上で一様な$L^\infty$境界が成り立つ。
• 点付きGromov-Hausdorff位相におけるケーラー＝アインシュタイン多様体の収束により、対数正則特徴を持つ標準的モデルに同相な極限空間が得られる。
• 代数的モジュライ空間がケーラー＝アインシュタインモジュライ空間と同値であるという予想は、両者のコンパクト化を含めて支持される。