[論文レビュー] A remark on mapping tori of free group endomorphisms

Ilya Kapovich|ArXiv.org|Aug 23, 2002

Geometric and Algebraic Topology参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有限生成自由群 F の任意の自己準同型 φ に対して、そのマッピングトーラス M(φ) が、有限生成自由群 F₁ 上の単射自己準同型 ψ に対するマッピングトーラスと同型であることを示している。核の安定化とティーツェ変換を活用することで、著者らは M(φ) が両立性とホフマン性を有することを証明し、従来の結果が単射性を仮定していたのを拡張している。主な貢献は、自由群自己準同型のマッピングトーラスにおける両立性およびホフマン性の性質について、単射性の仮定を除去したことにある。

ABSTRACT

We observe that the results of Feighn-Handel and Geoghegan-Mihalik-Sapir-Wise about coherence and Hopficity of mapping tori of injective endomorphisms of free groups extend to non-injective endomorphisms.

研究の動機と目的

• 既知の単射自己準同型のマッピングトーラスに関する結果を非単射の場合に拡張すること。
• 有限生成自由群の任意の自己準同型のマッピングトーラスに対して、両立性およびホフマン性が成り立つことを示すこと。
• 任意の有限生成自由群の自己準同型 φ に対して、M(φ) が有限ランクの自由群上の単射自己準同型 ψ に対する M(ψ) と同型であることを確立すること。

提案手法

• φ のべきの核の安定化を特定する。すなわち、すべての n ≥ k に対して ker(φ^k) = ker(φ^n) であることを示す。
• N = ker(φ^k) と定義する。これにより φ は商群 F/N に単射自己準同型 φ̄ を誘導する。
• ティーツェ変換を用いて、すべての f ∈ N に対して f = 1 という関係を追加し、M(φ) の表示を F/N への HNN 拡張に変換する。
• F/N が φ^k(F) に同型であり、有限生成自由群でかつ有限ランクであることを観察する。
• フェイーンとハンデル（両立性）およびジーオゲイガンら（ホフマン性）の既知の結果を単射の場合に適用する。
• M(φ) が M(ψ) と同型であることから、M(φ) が両立性およびホフマン性を引き継ぐことを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由群の単射自己準同型のマッピングトーラスの両立性は、非単射の場合に拡張可能か？
• RQ2 自由群の単射自己準同型のマッピングトーラスのホフマン性は、単射性の仮定なしに成り立つか？
• RQ3 有限生成自由群の自己準同型のマッピングトーラスは、すべて有限ランクの自由群上の単射自己準同型のマッピングトーラスと同型か？
• RQ4 自己準同型の核の安定化は、同型な単射マッピングトーラスの構成にどのように寄与するか？

主な発見

• 任意の有限生成自由群 F の自己準同型 φ に対して、ある有限生成自由群 F₁ と F₁ 上の単射自己準同型 ψ が存在し、M(φ) ≅ M(ψ) が成り立つ。
• ある k に対して φ^k の核が安定化する。すなわち、すべての n ≥ k に対して ker(φ^k) = ker(φ^n) が成り立つ。これは自由群のランクの安定化とホフマン性の性質による。
• N = ker(φ^k) とすると、商群 F/N は φ^k(F) に同型であり、有限生成自由群である。
• すべての f ∈ N に対して f = 1 を追加するティーツェ変換を施すことで、M(φ) の表示は、F/N への単射自己準同型による HNN 拡張に変換される。
• その結果、M(φ) は M(ψ) から両立性およびホフマン性を引き継ぐ。これは単射自己準同型の場合に既知の事実である。
• したがって、φ が単射でない場合であっても、M(φ) は両立的かつホフマン的である。