[論文レビュー] Kawaguchi-Silverman conjecture for endomorphisms on rationally connected varieties admitting an int-amplified endomorphism

Yohsuke Matsuzawa, Shou Yoshikawa|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 29被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、整数的増幅写像を許容する滑らかで有理的連結な多様体上の全射自己準同型写像について、Kawaguchi-Silverman予想を証明する。同定値最小モデルプログラム（MMP）技術を活用し、自己準同型写像下でのファイブレーション構造を分析することで、アーベル多様体やハイパーケーラー多様体からより広い有理的連結多様体のクラスへ予想を拡張し、非正のカルチエラ次元の場合に、有理的連結なファイバーを持つ非ユニルードな基底へのファイブレーションを持つ多様体に注目することで、予想を解決する。

ABSTRACT

We prove Kawaguchi-Silverman conjecture for all surjective endomorphisms on every smooth rationally connected variety admitting an int-amplified endomorphism.

研究の動機と目的

• 整数的増幅自己準同型写像を許容する滑らかで有理的連結な多様体上の全射自己準同型写像について、Kawaguchi-Silverman予想を確立すること。
• アーベル多様体やハイパーケーラー多様体における既知の結果を、より広い有理的連結多様体のクラスへ拡張すること。
• 非正のカルチエラ次元の場合に、有理的連結なファイバーを持つ非ユニルードな基底へのファイブレーションを持つ多様体に注目することで、予想を解決すること。
• 自己準同型写像下で、動的次数と算術次数の振る舞いを制御するための同定値MMP技術の開発と応用を行うこと。

提案手法

• MengとZhangによって開発された、自己準同型写像下での同定値最小モデルプログラム（MMP）を用い、問題をより単純な多様体に還元すること。
• MMPプロセスで生じるファイブレーションの構造を制御するための被覆定理を適用すること。
• 整数的増幅自己準同型写像が除集合を保存し、特にその上での分岐除集合が無限大的であることを示すことで、除集合が不変かつ有理的連結であることを示すこと。
• 次元またはピカール数を厳密に減少させるMMPステップを繰り返し適用することで、次元およびピカール数に関する帰納法を用いること。
• 有理的連結多様体がNéron-Severi群において自明な正則標準類を持つこと、特に $ N^1(X)_\mathbb{Q} = \operatorname{Pic}X_\mathbb{Q} $ が成り立つことを利用して、コhomologicalな議論を簡略化すること。
• 有限写像およびファイバー型収縮における動的次数の振る舞いに関する結果を適用し、特に条件 $(\ast)$ がこのような写像に沿って上昇することを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数的増幅自己準同型写像を許容する滑らかで有理的連結な多様体上のすべての全射自己準同型写像について、Kawaguchi-Silverman予想は成り立つか？
• RQ2 同定値MMPは、Q-アーベル多様体やファイバー型収縮のようなより単純な幾何的構造を持つ多様体へ予想を還元するために用いることができるか？
• RQ3 MMPの文脈において、繰り返し適用された整数的増幅自己準同型写像下での分岐除集合および除集合の引き戻しはどのように振る舞うか？
• RQ4 MMPプロセスにおけるファイブレーションは、出力多様体から元の多様体への予想の伝播を妨げる要因となる条件は何か？
• RQ5 ピカール数または次元をMMPステップによって段階的に減少させることで、帰納的に予想を証明することができるか？

主な発見

• 整数的増幅自己準同型写像を許容する滑らかで有理的連結な多様体上のすべての全射自己準同型写像について、Kawaguchi-Silverman予想が成り立つ。
• 任意の点 $ x \in X(\overline{\mathbb{Q}}) $ に対して、$ f $-軌道がザリスキ・ドレインな場合、算術次数 $ \alpha_f(x) $ は動的次数 $ \delta_f $ に等しい。
• MMPプロセスにおいて、予想を妨げる可能性のあるファイブレーションは、整数的増幅自己準同型写像が与える剛性のため、与えられた仮定のもとでは発生しない。
• 有理的連結多様体上の繰り返し整数的増幅自己準同型写像の分岐除集合は、無限大的であり、$ \pi $-有理的である。ここで $ \pi $ はファイバー型収縮を表す。
• 条件 $ (\ast) $ はファイバー型収縮に沿って上昇し、帰納的還元を可能にする。
• ピカール数または次元を減少させるMMPステップを繰り返し適用するプロセスは、最終的に終了し、その結果、予想が既知である基底ケースに到達する。