[論文レビュー] A Remark on Rigidity of BN-sheaves

Rainer Weissauer|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 2被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、代数閉体上のアーベル多様体上の可解層の有界導来カテゴリにおける任意の複体が、畳み込み積に関して剛性を示すことを確立している。双対は、符号変換自己同型の下でのヴェルディエ双対の引き戻しとして明示的に与えられる。証明は、固有基底変換と導来直接像複体間の関手的同型を用いる。

ABSTRACT

We give a simple proof for the rigidity of a complex in the bounded derived category of sheaves with constructible cohomology on an abelian variety.

研究の動機と目的

• アーベル多様体の導来カテゴリにおける層の剛性に関する[BN, Cor.6]の一般化を図る。
• 有界導来カテゴリ $ D_{c}^{b}(X,\Lambda) $ の任意の対象が畳み込み積に関して剛性を示すことを確立する。
• ヴェルディエ双対と符号写像を用いた、双対対象の明示的公式を提示する。
• 導来カテゴリの技法を用いて、畳み込み関手 $ K \mapsto K*M $ とその右随伴関手の存在を示す。

提案手法

• 群法則 $ a: X \times X \to X $ を用いて畳み込み積 $ K*L = Ra_*(K \boxtimes L) $ を定義する。
• 導来カテゴリ $ \mathbf{D} = D_{c}^{b}(X,\Lambda) $ の対称モノイダル構造を用いて剛性を分析する。
• ヴェルディエ双対と導来函手を用いて、$ \mathrm{Hom}(K*M, N) $ と $ \mathrm{Hom}(K, M^\vee * N) $ の間の関手的同型を構成する。
• 固有基底変換定理を用い、差写像 $ f(x,y) = y - x $ と群法則との直接像を関連付ける。
• $ X \times X \times X $ 上で $ f \circ (a \times \mathrm{id}) = f \circ (\mathrm{id} \times f) $ という恒等式を用い、複体間の同型を誘導する。
• 対角埋め込み $ \Delta $ を用いて原点における茎を特定し、$ L_0 \cong R_0 $ を示す。これにより、必要な随伴同型が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベル多様体上の可解層の有界導来カテゴリの任意の対象は、畳み込み積に関して剛性を示すか？
• RQ2 与えられた複体 $ M $ に対して、この畳み込み構造における双対対象の明示的形は何か？
• RQ3 導来カテゴリの道具と基底変換を用いて、$ K \mapsto K*M $ と $ N \mapsto M^\vee * N $ の間の随伴関係を確立できるか？
• RQ4 写像 $ a $、$ f $、$ \Delta $ はどのように作用し、必要な同型を構成するために組み合わされるか？
• RQ5 $ M^\vee = (-\mathrm{id}_X)^*D(M) $ という双対性が、対称モノイダル圏 $ (\mathbf{D}, *) $ における剛性の随伴条件を満たすか？

主な発見

• 任意の複体 $ M \in D_{c}^{b}(X,\Lambda) $ は、対称モノイダル圏 $ (\mathbf{D}, *) $ において剛性を示し、関手 $ K \mapsto K*M $ が右随伴を持つ。
• 関手 $ K \mapsto K*M $ の右随伴は $ N \mapsto M^\vee * N $ で与えられ、ここで $ M^\vee = (-\mathrm{id}_X)^*D(M) $ である。
• 随伴同型 $ \mathrm{Hom}(K*M, N) \cong \mathrm{Hom}(K, M^\vee * N) $ は、導来函手とヴェルディエ双対を用いて構成される。
• 同型は、対角埋め込み $ \Delta: X \to X \times X $ に適用した固有基底変換定理を用い、原点における茎を特定することで確立される。
• $ X \times X \times X $ 上の基本的幾何的恒等式 $ f \circ (a \times \mathrm{id}) = f \circ (\mathrm{id} \times f) $ は、二つの導来直接像複体間の自然同型を誘導する。
• 得られる同型 $ \psi_{A,C}: L_0 \to R_0 $ は $ A $ と $ C $ に関して関手的であり、必要な随伴データを提供する。