[論文レビュー] Brill-Noether Sheaves

Rainer Weissauer|ArXiv.org|Oct 30, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、曲線のヤコビ多様体上の perverse sheaf としての Brill-Noether sheaf を導入し、曲線上の delta sheaf の繰り返し畳み込みによって構成する。非双曲的曲線に対して、曲線上の delta sheaf の r 回畳み込みの perverse 部分が既約であり、差多様体 $W_r - W_r$ の交差コホモロジーに対応することを証明する。これにより、双曲的かどうかに応じて $\mathrm{Sp}(2g-2,\overline{\mathbb{Q}}_l)$ または $\mathrm{SL}(2g-2,\overline{\mathbb{Q}}_l)$ に同値な Tannakian 圏が得られる。

ABSTRACT

We construct a $\bar Q_l$-linear Tannakian category attached to a smooth projective curve C equivalent to the category of finite dimensional $\bar Q_l$-representations Rep(G), where G is $Sp(2g-2,\bar Q_l)$ or $Sl(2g-2,\bar Q_l)$ depending on whether C is hyperelliptic or not.

研究の動機と目的

• 曲線のヤコビ多様体上での曲線上の delta sheaf の繰り返し畳み込みから生じる perverse sheaf を定義し、研究すること。
• ヤコビ多様体上の曲線上の delta sheaf の r 回自己畳み込みの構造を、特に perverse 部分と自明な部分への分解として理解すること。
• 双曲的かどうかに応じて $\mathrm{Sp}(2g-2,\overline{\mathbb{Q}}_l)$ または $\mathrm{SL}(2g-2,\overline{\mathbb{Q}}_l)$ に同値な Tannakian 圏 $\mathcal{BN}$ を確立すること。
• これらの畳み込みの perverse 成分が Brill-Noether 多様体およびそのコホモロジーとどのように関係するかを明らかにすること。

提案手法

• アーベル多様体上の $\overline{\mathbb{Q}}_l$-層の導来圏における畳み込み積を、群法則を用いて定義する。
• 繰り返し畳み込み $\delta_{Y_1} * \cdots * \delta_{Y_r}$ から perverse 部分 $^p\delta_\alpha$ を perverse t-構造の切断を用いて抽出する。
• 差写像の下での畳み込み積の直接像の分解に、Littlewood-Richardson の法則を適用する。
• 半単純な圏 $\mathcal{BN}'$ に生成される perverse 成分に対して Tannakian 形式主義を適用し、Tannakian 群を $\mathrm{Sp}(2g-2,\overline{\mathbb{Q}}_l)$ または $\mathrm{SL}(2g-2,\overline{\mathbb{Q}}_l)$ として同定する。
• 双対性、剛性、およびハード・リーマンの定理を用いて、畳み込み積の茎およびコホモロジーを分析する。
• 対称冪およびテンソル圏の構造に依拠し、表現論的分類を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲線のヤコビ多様体上での delta sheaf の繰り返し畳み込みは、どのように perverse 部分と自明な部分に分解されるか？
• RQ2 これらの畳み込みの perverse 成分が生成する圏の Tannakian 構造は何か？
• RQ3 差多様体 $W_r - W_r$ のコホモロジー層は、 perverse sheaf $^p\delta_{\chi - r, r}$ とどのように関係するか？
• RQ4 どのような条件下で perverse sheaf $^p\delta_{\chi - r, r}$ が既約になるか？
• RQ5 与えられた曲線に対して、Tannakian 圏 $\mathcal{BN}$ の明示的な群論的実現は何か？

主な発見

• 非双曲的曲線 $C$ で genus $g \geq 3$ の場合、$r < g/2$ に対して perverse sheaf $^p\delta_{\chi - r, r}$ は既約である。
• $\mathcal{BN}$ は Tannakian であり、$G = \mathrm{Sp}(2g-2,\overline{\mathbb{Q}}_l)$ であれば $\mathrm{Rep}(G)$ に同値である。
• $^p\delta_{\chi - r, r}$ は、差多様体 $W_r - W_r \subseteq J(C)$ の交差コホモロジー層 $\delta_{W_r - W_r}$ に同型である。
• 直接像 $Rf_*\delta_{W_r \times W_s}$ は $\delta_{\chi - s, r} \oplus Rf_*\delta_{W_{r-1} \times W_{s-1}}$ に分解され、ここで $\delta_{\chi - s, r} = {}^p\delta_{\chi - s, r} \oplus T(r,s)$ であり、$T(r,s)$ は定数層の平行移動である。
• $\mathcal{BN}$ の Tannakian 群は、$C$ が双曲的であれば $\mathrm{SL}(2g-2,\overline{\mathbb{Q}}_l)$、そうでなければ $\mathrm{Sp}(2g-2,\overline{\mathbb{Q}}_l)$ である。
• 本構成により、$W_r - W_r$ の交差コホモロジーが既約な perverse sheaf $^p\delta_{\chi - r, r}$ を用いて明示的に記述できる。