[論文レビュー] A Remark on the Conjectures of Lang-Trotter and Sato-Tate on Average

Stephan Baier|ArXiv.org|Aug 19, 2007

Analytic Number Theory Research参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有理数体上の楕円曲線におけるLang-TrotterおよびSato-Tate予想について、平均的順序に関する新たな結果を確立する。a, bに関する曲線族E(a,b)に対して|a| ≤ A, |b| ≤ Bの範囲で平均化し、特徴関数和を分析することにより、固定されたトレースap(E) = rまたはFrobenius角が[α,β]に属する素数の密度が、従来の研究と比較してA, Bに関する制約を緩和した条件下でも予測されるSato-Tate分布と一致することを証明する。

ABSTRACT

We obtain new average results on the conjectures of Lang-Trotter and Sato-Tate about elliptic curves.

研究の動機と目的

• パrameter A, Bが小さい楕円曲線族E(a,b)に対して、Lang-Trotter予想の平均的漸近公式を確立すること。
• 非CM楕円曲線族におけるSato-Tate予想を、より良い誤差項を伴って平均的挙動に拡張すること。
• 従来の平均的結果におけるA, Bの制約を緩和し、A,B > x^ε とすることを可能にすること（従来はA,B > x^{1/2+ε} が必要）。
• Sato-Tateを破るCM曲線の寄与を、除外するか、与えられた条件下で無視可能であることを示すこと。
• 特徴関数和の誤差項推定を、補題1（Pólya-VinogradovとBurgess型推定のハイブリッド）を用いて精緻化し、より強い一様性を達成すること。

提案手法

• 曲線族E(a,b): y² = x³ + ax + b に対して|a| ≤ A, |b| ≤ Bの範囲で平均化し、ap(E) = r または ap(E)/(2√p) ∈ [α,β] を満たすp ≤ x である素数の個数についての漸近公式を導出する。
• 主項と誤差項を推定するため、特にFrobeniusトレースが与えられた区間に属する素数p ≤ x におけるlog pの和を扱う特徴関数和技法を適用する。
• 誤差項E₁(p)を制御するため、η = 1/20 として、改良された特徴関数和推定（補題1）を用い、従来のPólya-Vinogradov推定に代えて、より小さいA, Bを許容する。
• 類数推定とH(r²−4p)（Hurwitz類数）の上界を用いて、関連する同種類の個数を制御し、特徴関数和の定義域の大きさを制御する。
• 誤差項と主項のバランスを取るために、AB < x^C（C > 3/2 + ε）およびAB > x^{1+ε}/F(α,β) の条件を課す。
• Sato-Tateが成立しない複素乗法を持つ曲線（E(a,0)およびE(0,b)）を除外する。これは平均化に悪影響を及げるため。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 A,B > x^ε という条件下で、平均的Lang-Trotter予想をA,B > x^{1/2+ε} を要件としない範囲で確立できるか？
• RQ2 CM楕円曲線が平均的Sato-Tate分布に及ぼす歪みはどの程度か？ 与えられた平均化条件下でその寄与が無視可能であることを示せるか？
• RQ3 特徴関数和技法を用いて、誤差項を十分にきつく抑え、パrameter制約を緩和した下で相対誤差がO(1/log^c x) となるようにできるか？
• RQ4 Pólya-Vinogradov推定をより強いハイブリッド特徴関数和推定に置き換えることで、平均的Sato-Tate結果の適用範囲を拡大できるか？
• RQ5 x → ∞ のとき、∑_{|a|≤A}∑_{|b|≤B} π_{E(a,b)}^r(x) の正確な漸近的挙動は何か？ 予測されるC_r π_{1/2}(x) と比較するとどうなるか？

主な発見

• r ≠ 0 の場合、A,B > x^ε かつ x^{3/2+ε} < AB < x^C の下で、|a| ≤ A, |b| ≤ B である曲線族E(a,b) における、ap(E(a,b)) = r を満たすp ≤ x である素数の平均個数は、(1/4AB)∑∑π_{E(a,b)}^r(x) ∼ C_r π_{1/2}(x) がx → ∞ で成り立つ。
• r = 0 の場合、ab = 0 を除く曲線を考慮することで、ap(E(a,b)) = 0 を満たす素数の平均個数は、(1/4AB)∑∑π_{E(a,b)}^0(x) ∼ (π/3) π_{1/2}(x) となる。
• CM曲線（E(a,0), E(0,b) を除く）の寄与は、≪ min{A^{1/2}, B^{1/3}} / (AB) · π(x) ≪ x^{1/4} で抑えられ、主項π_{1/2}(x) ≪ x / √log x に比べて無視可能である。
• Sato-Tate平均に関して、F(α,β) ≥ x^{-1/2+ε}、γ/β ∈ [x^{ε-5/12}, x^{-ε}]、およびAB > x^{1+ε}/F(α,β) の下で、平均は (1/4AB)∑∑Θ_{E(a,b)}(α,β;x) = x F(α,β) (1 + O(1/log^c x)) を満たす。
• 主な革新点は、Pólya-Vinogradov推定をハイブリッド特徴関数和推定（補題1）に置き換えることで、誤差項E₁(p) を制御し、A,B > x^{1/2+ε} という条件をA,B > x^ε に緩和できた点にある。
• 誤差項の上界 ∑|E₁(p)| ≪ x^{1+2ε₁} F(α,β) (AB^{19/20} + A^{19/20}B + x^{-1/20} AB) により、主項が優勢となり、相対誤差O(1/log^c x) の望ましい漸近的挙動が得られる。