[論文レビュー] A remark on the scattering theory for the 2d radial focusing INLS

Chengbin Xu, Tengfei Zhao|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2019

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 22被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、$0 < b < 1$ および $2 - b < p < \infty$ を満たす2次元集束型非線形シュレーディンガー方程式（INLS）の径数解について、集中コンパクト性を避けるために修正されたバージョンのVirial/Morawetz推定と径数Sobolev埋め込みを用いて、基底状態未満の解に対して散乱を示す新しい証明を提示する。主な結果として、質量エネルギーモノイドおよび勾配ノルムが基底状態の閾値未満である場合に、解が大域的良設定であり、散乱することを確立する。

ABSTRACT

We consider the scattering results of the radial solutions below the ground state to the focusing inhomogeneous nonlinear Schrödinger equation $$i\partial_tu+Δu +|x|^{-b}|u|^{p}u=0$$ in two dimension, where $0<b></b>

研究の動機と目的

• 従来の集中コンパクト性手法の範囲を超えて、2次元径数集束型非線形シュレーディンガー方程式（INLS）の散乱結果を拡張すること。
• 集中コンパクト性を用いないで、基底状態エネルギーマス閾値未満の径数解の散乱を示す新しい証明を提供すること。
• $H^1$フレームワークにおいて、Virial/Morawetz恒等式と径数Sobolev埋め込みに基づく新しい散乱基準を確立すること。
• 初期データが基底状態閾値条件を満たす場合、解が$H^1$で一様有界であり、$t \to \pm\infty$ で散乱することを検証すること。

提案手法

• 集中コンパクト性に依存しない新しい散乱基準を導出するために、Arora-Dodson-Murphyの手法の修正版が用いられる。
• コンパクトな台を持つ径数重み関数 $a(x)$ を $|x| \leq R$ で定義し、$R < |x| \leq 2R$ で遷移させ、ヘッセ行列が非負かつ導関数が制御可能であるように保証する。
• モラウェーツ作用 $M_a(t)$ に対してVirial/Morawetz恒等式を導出し、時間微分を運動エネルギー項、ポテンシャル項、重み項に結びつける。
• ガリャルド・ニレングラフ不等式と保存則を用いて、大きな球上で強制性を確立し、局所的$L^2$ノルムおよび勾配ノルムが基底状態閾値未満に保たれることを保証する。
• 非一様項 $|x|^{-b}|u|^{p+2}$ をエネルギー空間で制御するために、径数Sobolev埋め込みが適用される。
• 時間積分の基本定理を $rac{dM_a}{dt}$ に適用し、$R = T^{1/(1+\alpha)}$ で最適化された $\int |x|^{-b}|u|^{p+2}dx$ の時間積分による境界が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元集束型INLSの径数解の散乱は、集中コンパクト性を用いずに証明可能か？
• RQ2 質量エネルギーモノイドおよび勾配ノルムに関して、基底状態と比較した散乱の鋭い閾値は何か？
• RQ3 $L^2$臨界的状態において、非線形項 $|x|^{-b}|u|^{p+2}$ を扱うためにVirial/Morawetz推定をどのように修正できるか？
• RQ4 径数Sobolev埋め込みと大きな球上で得られる強制性を用いて、非線形項を制御し、散乱を確立できるか？

主な発見

• 初期データ $u_0$ に対して $M(u_0)^{1-s_p}E(u_0)^{s_p} < M(Q)^{1-s_p}E(Q)^{s_p}$ を満たす場合、2次元径数集束型INLSの解 $u$ は $H^1(\mathbb{R}^2)$ で大域的良設定であり、散乱する。
• 勾配ノルム条件 $\|u_0\|_{L^2}^{1-s_p}\|\nabla u_0\|_{L^2}^{s_p} < \|Q\|_{L^2}^{1-s_p}\|\nabla Q\|_{L^2}^{s_p}$ が、解が基底状態閾値未満に保たれることを保証する。
• モラウェーツ恒等式と径数Sobolev埋め込みを用いて、新しい散乱基準が確立され、集中コンパクト性の使用を回避できる。
• 時間積分された $L^{p+2}$-ノルム $\int |x|^{-b}|u|^{p+2}dx$ は $R + T/R^\alpha$ で有界であり、$\alpha = \min\{2, b + p/2\}$ であるため、$\int_0^T \int |x|^{-b}|u|^{p+2} dx dt \lesssim T^{1/(1+\alpha)}$ が得られる。
• モラウェーツ恒等式により $M_a(t)$ が一様有界であることが保証され、$\sup_t |M_a(t)| \lesssim R$ が得られ、時間積分において重要である。