[論文レビュー] A remark on the space of metrics having non-trivial harmonic spinors

Nils Waterstraat|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、次元 $n \equiv 3 \mod 4$ の閉じたスピン多様体 $M$ に対して、逆写像可能なディラック作用素を持つリーマン計量の空間が空であるか、あるいは無限個のパス成分を持つことを簡潔に証明する。スペクトルフローと初等的なホモトピー論を用いて、バールによる先行研究を再導出し、簡略化する。インデックス理論的障害が計量空間における非自明な位相的構造を生じることを示している。

ABSTRACT

Let M be a closed spin manifold of dimension congruent to 3 modulo 4. We give a simple proof of the fact that the space of metrics on M with invertible Dirac operator is either empty or it has infinitely many path components.

研究の動機と目的

• 次元 $n \equiv 3 \mod 4$ の閉じたスピン多様体上で、逆写像可能なディラック作用素を持つ計量の空間の無限個のパス成分構造を、簡単かつ自己完結的な証明を提供すること。
• スペクトルフローとホモトピー論的議論を用いて、バール（1996年）およびダール（2008年）の先行結果を再導出し、簡略化すること。
• 計量の空間 $R^{\textup{inv}}(M)$ が空であるか、あるいは無限個のパス成分を持つことを、初等的な位相的道具を用いて確立すること。
• twisted ディラック作用素への拡張を行い、対応する逆写像可能な計量の空間が無限個の成分を持つと予想すること。

提案手法

• 証明は、計量を変化させることでディラック作用素の固有値がゼロを通過する回数の変化をスペクトルフローで追跡する。
• パス $\gamma$ に沿ってある区間内でゼロを通過する固有値の純数を数えるホモトピー不変量 $\Gamma(\gamma)$ を適用する。
• 固定された計量 $g_0 \in R^{\textup{inv}}(M)$ から出発するパスの列 $\gamma_k$ を構成することで、$\Gamma(\gamma_k)$ がすべて異なることを保証し、これにより終点が異なるパス成分に属することを示す。
• この構成は、ディラック作用素の共形不変性と、$S^n$ 上で固有値が $[-2,2]$ の範囲で線形に変化する計量の族の存在に依存する。
• 計量の変形におけるディラック作用素のスペクトル的挙動を通じて、アティヤ＝シンガーのインデックス定理を暗黙的に用いる。
• 2つのこのような計量が同じパス成分にあると仮定すると、$\Gamma(\gamma_i) = \Gamma(\gamma_j)$ が得られ、構成に矛盾する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 $n \equiv 3 \mod 4$ の閉じたスピン多様体上で、逆写像可能なディラック作用素を持つリーマン計量の空間は無限個のパス成分を持つのか？
• RQ2 $R^{\textup{inv}}(M)$ の無限個のパス成分構造は、高度な手術理論を用いずに、スペクトルフローと初等的なホモトピー論によって確立可能か？
• RQ3 $R^{\textup{inv}}(M)$ の位相的複雑性は、固定された接続を伴うベクトルバンドルによるねじれによっても保存されるか？
• RQ4 スペクトルフロー不変量 $\Gamma(\gamma)$ は、逆写像可能なディラック作用素を持つ計量の空間におけるパス成分を区別するために用いられるか？

主な発見

• 次元 $n \equiv 3 \mod 4$ の閉じたスピン多様体 $M$ 上で、逆写像可能なディラック作用素を持つリーマン計量の空間 $R^{\textup{inv}}(M)$ は空であるか、あるいは無限個のパス成分を持つ。
• 証明は、整数値をとるホモトピー不変量 $\Gamma(\gamma)$ をスペクトルフローで定義し、パスの連結において加法的であることを用いる。
• $\Gamma(\gamma_k)$ が厳密に増加するパスの列 $\gamma_k$ を構成することで、終点 $\gamma_k(1)$ が異なるパス成分に属することを示した。
• この構成は、$S^n$ 上の連続的な計量族の存在に依存し、そのディラック作用素は $[-2,2]$ の範囲で単一の固有値が $-1$ から $1$ まで線形に変化する。
• 任意の2つのこのような計量が異なる $\Gamma$-値を持つ場合、$R^{\textup{inv}}(M)$ 内のパスで接続されることはできず、無限個の成分構造が証明される。
• バールの1997年の結果を用いて、twisted ディラック作用素への拡張がなされ、$R^{\textup{inv}}_{(F,\nabla)}(M)$ が空であるか、あるいは無限個の成分を持つと予想される。