[論文レビュー] A review on SUSY gauge theories on $S^3$

Kazuo Hosomichi|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 46被引用数 15

ひとこと要約

このレビューは、局所化と圧縮された球面背景を用いて、3次元 ${\cal N}=2$ スーパー対称ゲージ理論と4次元スーパー共形指数の間の明確な対応関係を確立する。$S^3_b$ 上の楕円体的分配関数は、スケルク・シュバルツ還元を介して4次元スーパー共形指数を符号化しており、二重シン関数 $s_b(x)$ が3次元分配関数と2次元CFTの構造定数を結ぶ。

ABSTRACT

This is the 9th article in the collection of reviews "Exact results on N=2 supersymmetric gauge theories", ed. J.Teschner. We review the exact computations in 3D N=2 supersymmetric gauge theories on the round or squashed $S^3$ and the relation between 3D partition functions and 4D superconformal indices.

研究の動機と目的

• 3次元 ${\cal N}=2$ スーパー対称ゲージ理論と4次元スーパー共形指数との間の明確な対応関係を確立すること。
• 3次元分配関数と4次元指数計算を結ぶ際の圧縮パラメータ $b$ の役割を明確にすること。
• 局所化を用いて、丸い $S^3$ と圧縮された $S^3$ の両方における3次元分配関数とループ観測量の記述を統一すること。
• S-dualityドメインウォール上のAGT類似対応を介して、3次元ゲージ理論の結果と2次元共形場理論を結ぶこと。
• 二重シン関数 $s_b(x)$ が3次元分配関数と4次元指数計算の両方で自然に現れる仕組みを示すこと。

提案手法

• 3次元の $S^3$ および $S^3_b$ 上の超対称的鞍点にわたる有限次元積分に、無限次元経路積分を縮小する超対称的局所化を適用する。
• $U(1)\times U(1)$ の等長性を持つ圧縮された $S^3_b$ 背景を用い、背景ゲージ場とスカラー場を介して剛体 ${\cal N}=2$ スーパー対称性を保存する。
• ゼータ正則化無限積を用いて定義される二重シン関数 $s_b(x)$ を用いて、$S^3_b$ 上の3次元分配関数を導出する。
• $S^1 \times S^3$ のねじれ境界条件を伴うスケルク・シュバルツ還元を介して、3次元分配関数と4次元スーパー共形指数を結ぶ。
• 圧縮パラメータ $b$ をリーマン・トーダCFTの結合定数に結びつけ、$s_b(x)$ が3次元分配関数と4次元指数の構造定数の両方に現れることを示す。
• ループ観測量（例：ウィルソン線）を局所化により解析し、$s_b(x)$ を用いた正確な式を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 圧縮された $S^3_b$ 上の3次元分配関数は、4次元スーパー共形指数とどのように関係しているか？
• RQ2 3次元ゲージ理論と4次元CFTを結ぶ際の圧縮パラメータ $b$ の役割は何か？
• RQ3 二重シン関数 $s_b(x)$ は、3次元分配関数と4次元指数計算の両方でどのように自然に現れるか？
• RQ4 $S^1 \times S^3$ のスケルク・シュバルツ還元は、$SU(2)\times U(1)$ の等長性を持つ圧縮された $S^3$ 背景をどのように再現するか？
• RQ5 4次元 ${\cal N}=2$ 理論におけるS-dualityドメインウォールは、AGT類似関係を介して3次元-2次元対応をどのように導くか？

主な発見

• 圧縮された $S^3_b$ 上の3次元 ${\cal N}=2$ 分配関数は、圧縮パラメータ $b$ に非自明に依存する二重シン関数 $s_b(x)$ の積で与えられる。
• 4次元スーパー共形指数は、$S^1$ のコンパクト化極限として、スケルク・シュバルツ還元を介して3次元分配関数 $S^3_b$ 上で正確に再現される。
• ゼータ正則化積として定義される二重シン関数 $s_b(x)$ は、3次元分配関数と、結合定数 $b$ を持つ2次元リーマン・トーダCFTの構造定数の両方に現れる。
• 3次元背景における圧縮パラメータ $b$ は、リーマンCFTの結合定数に対応し、3次元ゲージ理論と2次元CFTの間の直接的な関係を確立する。
• 3次元 ${\cal N}=2$ 理論におけるウィルソン線の期待値は、局所化により正確に計算され、$s_b(x)$ を含む式を得る。
• $S^3_b$ 上の3次元分配関数は $b \to b^{-1}$ に対して不変であり、4次元理論におけるS双対性を反映しており、3次元と4次元記述の双対性を裏付ける。