[論文レビュー] A revised Moore bound for partially directed graphs

Dominique Buset, Mourad El Amiri+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2015

Interconnection Networks and Systems被引用数 7

ひとこと要約

本論文は、直径が3より大きい場合の部分的に有向グラフにおける頂点数の最大値に対するより緊密な上界を導出することで、部分的に有向グラフのムーア上限を再考している。2008年の先行研究を精緻化し、すべての直径および無向・有向次数のすべての組み合わせに対して有効な、見直されたムーア上限を確立することで、混合または部分的に有向な設定におけるグラフ構築の理論的限界を著しく改善した。

ABSTRACT

The degree-diameter problem seeks to find the maximum possible order of a graph with a given (maximum) degree and diameter. It is known that graphs attaining the maximum possible value (the Moore bound) are extremely rare, but much activity is focussed on finding new examples of graphs or families of graph with orders approaching the bound as closely as possible. There has been recent interest in this problem as it applies to mixed or partially directed graphs, in which we allow some of the edges to be undirected and some directed. A 2008 paper of Nguyen and Miller derived an upper bound on the possible number of vertices of such graphs. We show that for diameters larger than three, this bound can be reduced and we present a revised Moore bound for mixed graphs valid for all diameters and for all combinations of undirected and directed degrees.

研究の動機と目的

• 無向および有向のエッジが混在する部分的に有向グラフにおける次数-直径問題を扱う。
• 2008年の Nguyen と Miller が提示した、このようなグラフにおける頂点数の最大値に対する上界を改善することを目的とする。
• 直径が3より大きい場合に特に有効となる、より緊密でかつすべての直径に対して有効な見直されたムーア上限を導出すること。
• すべての無向および有向次数の組み合わせに適用可能な理論的枠組みを提供すること。

提案手法

• 著者らは、与えられた頂点からの経路数を数える組合せ的議論に基づき、部分的に有向グラフの構造を分析する。
• 与えられた直径内での到達可能な頂点の数を精緻化し、有向エッジと無向エッジの走査を区別する。
• 有向および無向エッジ集合からの制約を統合することで、頂点総数の上限を導出する。
• 長径のグラフにおける構造的制限を特定することで、従来のものよりも緊密な上界を導出する。
• 再帰的経路列挙と元のムーア上限との比較を通じて、見直された上限を導出する。
• 有向エッジによる非対称的到達可能性を考慮することで、混合グラフへのムーア上限の一般化を図る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直径が大きい場合に、2008年の部分的に有向グラフの位数に関する上界を改善できるか？
• RQ2 与えられた無向および有向次数と直径を持つ混合グラフにおける頂点数の理論的上限として、最もきついものとは何か？
• RQ3 有向および無向エッジが共存する場合、直径が増加するに従い、最大グラフ位数にどのような影響が生じるか？
• RQ4 混合グラフの元のムーア上限は、すべての直径に対して適用可能で、かつタイトな上限であるか、それとも長距離経路における構造的制限があるか？
• RQ5 すべての無向および有向次数の組み合わせおよびすべての直径に対して成り立つ統一された上限を導出可能か？

主な発見

• 見直されたムーア上限は、直径が3より大きいすべてのケースにおいて、2008年の上限よりも厳密にタイトである。
• 新しい上限は、特定のケースに限定されず、すべての無向および有向次数の組み合わせに普遍的に適用可能である。
• 直径が大きいグラフでは、元の上限が余りに許容的であったため、改善効果が顕著に現れる。
• 見直された上限は、これまでの式に含まれていなかった直径に対しても理論的に有効である。
• この手法により、混合グラフにおける構造的非対称性が、従来の仮定よりも顕著に頂点数の増加を制限することが示された。