[論文レビュー] A Riemannian structure associated with a Finsler structure

Ricardo Gallego|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2005

Advanced Differential Geometry Research参考文献 1被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、Finsler空間の基本テンソルおよびChern-Rund接続に平均化手続きを適用することにより、リーマン構造を導出する。これにより、リーマン計量およびアフィン的かつ torsion-free な接続が得られる。主な貢献は、平均計量を用いたBerwald曲面における一般化されたガウス＝ボンネの定理、ならびに新たな不変量とホロノミーに関する結果であり、対称空間の性質がFinsler空間から平均化されたリーマン計量へと引き継がれることを確立している。

ABSTRACT

Given a Finsler space (M,F) on a manifold M, the averaging method associates to Finslerian geometric objects affine geometric objects} living on $M$. In particular, a Riemannian metric is associated to the fundamental tensor $g$ and an affine, torsion free connection is associated to the Chern-Rund connection. As an illustration of the technique, a generalization of the Gauss-Bonnet theorem to Berwald surfaces using the average metric is presented. The parallel transport and curvature endomorphisms of the average connection are obtained. The holonomy group for a Berwald space is discussed. New affine, local isometric invariants of the original Finsler metric. The heredity of the property of symmetric space from the Finsler space to the average Riemannian metric is proved.

研究の動機と目的

• Finsler空間にリーマン計量およびアフィン接続を体系的に関連付けるための方法を確立すること。
• 平均化されたリーマン計量を用いて、Berwald曲面におけるガウス＝ボンネの定理を一般化すること。
• 平均化構成により、元のFinsler計量の新たな局所等長不変量を同定すること。
• Berwald空間における平均化接続のホロノミー群を調査すること。
• Finsler空間が対称空間である場合、関連する平均化リーマン計量も同様に対称空間の性質を引き継ぐことを証明すること。

提案手法

• Finsler基本テンソルに平均化手続きを適用し、底面多様体上にリーマン計量を構成すること。
• 同じ平均化技術をChern-Rund接続に適用し、多様体上にアフィン的かつ torsion-free な接続を生成すること。
• 得られたアフィン接続から、平行移動および曲率自己準同型を導出すること。
• 平均化されたリーマン計量を用いて、Berwald曲面の文脈におけるガウス＝ボンネの定理を一般化すること。
• 平均化接続のホロノミー群を分析し、Berwald空間における幾何的対称性を理解すること。
• Finsler空間が対称空間である場合、関連する平均化リーマン計量も同様に対称空間の性質を引き継ぐことを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Finsler構造から平均化手続きを用いてリーマン計量を体系的に導出する方法は何か？
• RQ2 特に曲率とホロノミーに関して、Berwald空間における平均化接続の幾何的意味は何か？
• RQ3 平均化リーマン計量を用いて、ガウス＝ボンネの定理をBerwald曲面へ拡張可能か？
• RQ4 平均化構成から、元のFinsler計量の新たな局所等長不変量は何か？
• RQ5 Finsler空間から関連するリーマン計量へ対称空間の性質が保存される条件は何か？

主な発見

• 平均化手法により、Finsler構造からリーマン計量およびアフィン的かつ torsion-free な接続が成功裏に生成された。
• 平均化リーマン計量を用いて、Berwald曲面における一般化されたガウス＝ボンネの定理が確立された。
• 平均化接続の平行移動および曲率自己準同型が明示的に導出された。
• Berwald空間における平均化接続のホロノミー群が分析され、幾何的制約が明らかになった。
• 本稿では、Finsler空間が対称空間である場合、関連する平均化リーマン計量も同様に対称空間の性質を引き継ぐことを証明した。
• 平均化構成により、元のFinsler計量の新たなアフィン的局所等長不変量が同定された。