[論文レビュー] A Riesz-Haviland type result for truncated moment problems with solutions in $L^1$

Călin-Grigore Ambrozie|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2011

Numerical methods in inverse problems参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$L^1(T, dt)$ 内の表現密度を備えた断片的モーメント問題について、リーマン＝ハヴィランド型の特徴付けを確立する。この特徴付けでは、このような密度が存在するための必要十分条件が、正則な閉集合 $T$ 上の非負多項式において、関連するリエス汎関数が厳密に正であることであると示している。主な貢献は、サポートに正則性条件が課された下で、$L^1$-密度を備えた表現測度を有するデータの集合が、すべての非負のボレル表現測度を持つモーメント錐の内側で稠密であることを同定することにある。

ABSTRACT

We give a version of the Riesz-Haviland theorem for truncated moments problems, characterizing the existence of the representing measures that are absolutely continuous with respect to the Lebesgue measure. The existence of such representing densities describes the dense interior of the convex cone of all data having nonnegative Borel representing measures. A natural regularity assumption on the support is required.

研究の動機と目的

• 断片的モーメント問題において、ルベーグ測度に関して絶対連続であるような表現測度の存在を特徴付けること。
• 正則な閉集合 $T\subset\mathbb{R}^n$ 上の非負の $L^1$ 密度のモーメントが、断片的モーメント問題の解を与えるための条件を同定すること。
• すべての非負のボレル表現測度を持つモーメント列の錐の中で、$L^1$-密度解を有するモーメント列の集合が、その稠密な内部を占めることを示すこと。
• キューロとファイアコウの結果に依存せずに、関数解析的道具と古典的リエス＝ハヴィランドの定理に依拠した、独立した特徴付けを提供すること。

提案手法

• 閉集合 $T\subset\mathbb{R}^n$ に対する正則性の概念を導入し、$T$ の各点の近傍で正のルベーグ測度を持つことを要請することで、位相的・測度論的正則性を保証する。
• 座標ごとの 0-1 組み合わせに関して閉じた整数係数多項式の指数集合 $I\subset\mathbb{Z}_+^n$ を定義し、モーメント汎関数と整合性を持つようにする。
• リエス＝ハヴィランドの定理を出発点とし、$T$ 上の非負多項式におけるリエス汎関数 $\varphi_g$ の厳密な正性を分析することで、断片的ケースへの拡張を図る。
• ハーン＝バナッハの定理とクレイン＝マズール型の議論を用いて、厳密な正性を保ちながら汎関数を拡張し、グローバルな正の汎関数の構成を可能にする。
• すべての $T$ 上で非負でかつ非零の $p\in P_I$ に対して $\varphi_g p > 0$ が成り立つならば、局所的均一正性が得られ、モーメント空間内での $g$ の近傍で同じ条件が成り立つことを示す。
• コンパクト性と双対性を用いて、厳密な正性が非負多項式の錐上で $\varphi_g p \geq c\|p\|$ の下界をもたらすことを示し、これにより高次多項式空間への反復的拡張が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則な閉集合 $T\subset\mathbb{R}^n$ に対して、断片的モーメント列が $L^1(T, dt)$ 内の表現密度を有するための条件は何か？
• RQ2 関連するリエス汎関数の正性性質に基づいて、$L^1$-密度解の存在をどのように特徴付けられるか？
• RQ3 すべての非負のボレル表現測度を持つモーメント列の錐の中で、$L^1$-密度解を有するモーメント列の集合の位相的構造は何か？
• RQ4 $L^1$-密度解の特徴付けは、キューロ＝ファイアコウの断片的モーメント問題に対する拡張定理に依存せずに得られるか？

主な発見

• 断片的モーメント列 $g=(g_i)_{i\in I}$ が、$L^1_+(T, dt)$ 内の表現密度 $f$ を有するための必要十分条件は、関連するリエス汎関数 $\varphi_g$ が、すべての $t\in T$ で $p(t)\geq 0$ となる非零多項式 $p\in P_I$ に対して $\varphi_g p > 0$ を満たすことである。
• すべての非負のボレル表現測度を持つモーメント列の錐の中で、$L^1$-密度解を有するモーメント列の集合は、その稠密な内部を占める。
• すべての非零非負 $p$ に対して $\varphi_g p > 0$ であるという厳密な正性条件は、$P_I$ の非負多項式の単位球上で $\varphi_g p \geq c\|p\|$ の一様下界が存在することと同値である。
• 証明では、$\varphi_g$ を高次多項式空間へと正の拡張する列を構成し、最終的に $\mathbb{R}[X_1,\dots,X_n]$ 上の正の線形汎関数が得られる。
• このような汎関数の存在により、$g$ のモーメントと一致する非負のボレル測度 $\nu$ が $T$ 上に存在することが保証される。さらに、厳密な正性と $L^1$-正則性により、$\nu$ はルベーグ測度に関して絶対連続である。
• この結果は、$T$ が正則である、すなわち $T$ の各点がルベーグ密度点であるという仮定のもとで成り立つ。これにより、$T$ の任意の近傍で正の測度を持つことが保証される。