[論文レビュー] A robust sub-linear time R-FFAST algorithm for computing a sparse DFT

Sameer Pawar, Kannan Ramchandran|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、白色ガウスノイズで汚染された信号のスパース離散フーリエ変換（DFT）を、サブリニア時間で計算する耐性のあるアルゴリズムR-FFASTを提案する。固定で決定論的なサンプリング構造に、ランダムにシフトされた遅延チェーンを組み合わせることで、R-FFASTは$O(k\log^3 n)$のサンプルと$O(k\log^4 n)$の計算量を達成し、ノイズ下でも$k$-スパースDFTの安定回復を可能にし、強力な理論的保証と非一様サポートを持つ信号（例：MRI画像）における実験的成功を達成する。

ABSTRACT

The Fast Fourier Transform (FFT) is the most efficiently known way to compute the Discrete Fourier Transform (DFT) of an arbitrary n-length signal, and has a computational complexity of O(n log n). If the DFT X of the signal x has only k non-zero coefficients (where k < n), can we do better? In [1], we addressed this question and presented a novel FFAST (Fast Fourier Aliasing-based Sparse Transform) algorithm that cleverly induces sparse graph alias codes in the DFT domain, via a Chinese-Remainder-Theorem (CRT)-guided sub-sampling operation of the time-domain samples. The resulting sparse graph alias codes are then exploited to devise a fast and iterative onion-peeling style decoder that computes an n length DFT of a signal using only O(k) time-domain samples and O(klog k) computations. The FFAST algorithm is applicable whenever k is sub-linear in n (i.e. k = o(n)), but is obviously most attractive when k is much smaller than n. In this paper, we adapt the FFAST framework of [1] to the case where the time-domain samples are corrupted by a white Gaussian noise. In particular, we show that the extended noise robust algorithm R-FFAST computes an n-length k-sparse DFT X using O(klog ^3 n) noise-corrupted time-domain samples, in O(klog^4n) computations, i.e., sub-linear time complexity. While our theoretical results are for signals with a uniformly random support of the non-zero DFT coefficients and additive white Gaussian noise, we provide simulation results which demonstrates that the R-FFAST algorithm performs well even for signals like MR images, that have an approximately sparse Fourier spectrum with a non-uniform support for the dominant DFT coefficients.

研究の動機と目的

• 時間領域のサンプルが白色ガウスノイズで汚染されている状況下でも、$k$-スパース信号のDFTを計算する耐性があり、サブリニア時間のアルゴリズムを開発すること。
• ランダム測定システムではなく、固定のサンプリング構造を用いることで、実用的なハードウェア制約下でも計算効率とサンプル複雑性を維持すること。
• ノイズのないFFASTフレームワークを拡張し、現実のノイズと非一様サポートを持つスパース信号（例：MRI）に対応すること。
• 制限付き等長性性質（RIP）と相互不整合性を用いて、ノイズ下でも$k$-スパースDFTの安定回復を理論的に保証すること。
• 理論的仮定である一様なランダムサポートを前提としていながらも、実用的信号（例：MR画像）においてアルゴリズムの実現可能性と耐性を示すこと。

提案手法

• R-FFASTアルゴリズムは、各段階に複数の遅延チェーンを用い、それぞれに異なるランダムな巡回シフトを適用した後、サブサンプリングを行う固定で決定論的なサンプリング構造を採用する。
• 遅延チェーン内のランダムシフトにより、有効な測定行列が良好な相互不整合性と制限付き等長性性質（RIP）を持つことが保証され、ノイズ下でも安定回復が可能になる。
• フロントエンドは、中国剰余定理（CRT）に従うマルチステージのサブサンプリングプロセスを用いて、サブサンプルDFT出力を計算する。
• バックエンドのピーリングデコーダーは、サブサンプル出力におけるアリゼーションパターンを活用して、反復的に非ゼロDFT係数を回復する。
• 各DFTビンは定数回の処理しか行われないため、ノイズ下でも計算オーバーヘッドが低減される。
• 周波数ビンの各クラスタに対して、シングルトン推定器はクラスタあたり$O(\log^{1/3}n)$のサンプルを用いて、高確率で周波数を推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 FFASTフレームワークを、ノイズ付き時間領域サンプルを処理できるように拡張できるか？ また、サブリニア時間とサンプル複雑性を維持できるか？
• RQ2 固定のサンプリング構造をどのように設計すれば、スパースDFT計算における白色ガウスノイズに対して耐性を確保できるか？
• RQ3 ノイズ下で$k$-スパースDFTの安定回復を達成するための必要なサンプル数と計算複雑性は何か？ また、高確率で達成できるか？
• RQ4 アルゴリズムは、非一様に分布する非ゼロDFT係数を持つ信号（例：MR画像）に対しても性能を維持できるか？
• RQ5 固定のサンプリング制約下でも、遅延チェーン内のランダムシフトが測定行列における制限付き等長性性質（RIP）と相互不整合性を確保できるか？

主な発見

• R-FFASTは、$O(k\log^3 n)$のノイズ付き時間領域サンプルと$O(k\log^4 n)$の複素数演算を用いて、$n$長の$k$-スパースDFTを計算し、サブリニア時間複雑性を達成する。
• アルゴリズムは、非ゼロDFT係数のサポートが一様にランダムな信号に対して、高確率（$1 - O(1/n^2)$）で安定回復を保証する。
• 実験的結果から、R-FFASTは504 × 504のMR脳画像を、完全なフーリエサンプルの60.18％のサンプル数で正常に再構成でき、非一様サポートスペクトルに対する耐性を示している。
• 理論的分析により、遅延チェーン内のランダムシフトが測定行列に良好な相互不整合性とRIPを誘導することが確認され、安定回復が可能であることが裏付けられた。
• バックエンドのピーリングデコーダーは各ビンを定数回しか処理しないため、全体の$O(k\log^4 n)$の計算コストに寄与している。
• 測定システムをランダム化したR-FFASTの変種は、$O(k\log^{4/3}n)$のサンプルと$O(k\log^{7/3}n)$の演算を達成するが、本研究ではハードウェア実装可能性を考慮した固定構造実装に焦点を当てる。