[論文レビュー] A Schwartz type algebra for the Tangent Groupoid

Paulo Carrillo Rouse|ArXiv.org|Feb 25, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、Lie 群ガロア $\mathscr{G}$ の接群ガロア $\mathscr{G}^T$ 上に、$\mathscr{S}‑_{r,c}(\mathscr{G}^T)$ と表記されるシュワーツ型代数を構成する。これは $[0,1]$ 上の連続な代数体をなす。$t=0$ におけるファイバーは、Lie アーベルロイドのシュワーツ代数 $\mathscr{S}(A\mathscr{G})$ に同型であり、$t>0$ におけるファイバーは、畳み込み代数 $C^\infty_c(\mathscr{G})$ に同型である。この中間代数により、循環コホモロジーおよびチェーン-コーンズ特徴類理論と整合する、洗練されたインデックス準同型が可能になる。

ABSTRACT

We construct an algebra of smooth functions over the tangent groupoid associated to any Lie groupoid. This algebra is a field of algebras over the closed interval [0, 1] which fiber at zero is the algebra of Schwartz functions over the Lie algebroid, whereas any fiber out of zero is the convolution algebra of the initial groupoid. Our motivation comes from index theory for Lie groupoids. In fact, our construction gives an intermediate algebra between the enveloping C-algebra and the convolution algebra of compactly supported functions of the tangent groupoid; and it will allows us, in a further work, to define other analytic index morphisms as a sort of deformations.

研究の動機と目的

• Lie 群ガロアの $C^\infty_c(\mathscr{G})$ と $C^*(\mathscr{G})$ の間の中間代数を構成すること。
• $C^\infty_c(\mathscr{G})$-インデックスにはホモトピー不変性が欠けるという制限を克服し、同時に循環コホモロジーの道具と整合性を保つこと。
• $t=0$ における Lie アーベルロイドと $t>0$ における群ガロアの間を滑らかに補間する、幾何的に自然な代数的構造を接群ガロア上に構築すること。
• $K_0$-理論における新しい解析的インデックス準同型を定義可能にするため、チェーン-コーンズ特徴類理論による循環コサイクルとのペアリングに適したものとなること。
• $C^*$-代数的ケースに類似した短完全列を確立し、$C^*$-ホモトピー不変性に依存せずに、滑らかレベルでのインデックス理論を支援すること。

提案手法

• 接群ガロア $\mathscr{G}^T = A\mathscr{G} \times \{0\} \sqcup \mathscr{G} \times (0,1]$ 上に、$t=0$ におけるシュワーツ型の減衰条件を備えた滑らかな関数の層を構成する。
• 代数 $\mathscr{S}_{r,c}(\mathscr{G}^T)$ を、$t=0$ ファイバー（Lie アーベルロイド）で急速に減衰する滑らかな関数の空間、$t>0$ ファイバー（群ガロア）で-compactly 支持を持つ関数の空間として定義する。
• 局所的自明化と微分同相不変性を用いて、遷移写像を通じて代数をグローバルに定義し、チャート間で一貫性を保証する。
• 評価準同型 $e_t: \mathscr{S}_{r,c}(\mathscr{G}^T) \to \mathscr{S}(A\mathscr{G})$（$t=0$ 時）および $e_t: \mathscr{S}_{r,c}(\mathscr{G}^T) \to C^\infty_c(\mathscr{G})$（$t>0$ 時）を定義し、$\mathscr{S}_{r,c}(\mathscr{G}^T)$ が $[0,1]$ 上の連続な代数体であることを保証する。
• $\mathscr{S}_{r,c}(\mathscr{G}^T)$ が微分同相変換に関して不変であり、partition of unity と遷移写像を用いることで、アトラス全体にわたって一貫して定義可能であることを証明する。
• 短完全列 $0 \to J \to \mathscr{S}_{r,c}(\mathscr{G}^T) \xrightarrow{e_0} \mathscr{S}(A\mathscr{G}) \to 0$ を構成し、$C^*$-代数的ケースに類似した形で、将来的な滑らかレベルでのインデックス理論を支援する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接群ガロア上に、Lie アーベルロイドのシュワーツ代数と群ガロアの畳み込み代数の間を滑らかに補間する、幾何的に自然な代数を構築できるか？
• RQ2 このような代数が、$C^\infty_c$-インデックスに類似した洗練されたインデックス準同型を定義可能であり、かつチェーン-コーンズ特徴類理論に類似した循環コホモロジーの道具と整合するか？
• RQ3 $C^*$-代数的ケースに類似した短完全列を、$C^*$-ホモトピー不変性に依存せずに、滑らかレベルで構成可能か？
• RQ4 接群ガロアの代数的構造をどのように用いることで、$C^*$-インデックスより洗練され、$C^\infty_c$-インデックスより安定性の高いインデックス準同型を定義できるか？
• RQ5 得られた代数が、幾何的および解析的制御を保ちつつ、変形論的アプローチによるインデックス理論を支えることができるか？

主な発見

• $\mathscr{S}_{r,c}(\mathscr{G}^T)$ は $[0,1]$ 上の連続な代数体であり、$t=0$ におけるファイバーは、Lie アーベルロイドのシュワーツ代数 $\mathscr{S}(A\mathscr{G})$ に同型であり、$t>0$ におけるファイバーは、$\mathscr{G}$ 上のコンパクトに台を持つ滑らかな関数の畳み込み代数 $C^\infty_c(\mathscr{G})$ に同型である。
• $C^\infty_c(\mathscr{G}^T) \subset \mathscr{S}_{r,c}(\mathscr{G}^T) \subset C^*(\mathscr{G}^T)$ の包含関係が成り立つ。これにより、新しい代数が滑らかレベルと $C^*$-レベルの間の自然な中間対象として位置づけられる。
• 評価写像 $e_t$ は適切に定義された代数準同型であり、代数構造が $[0,1]$ 上のファイブレーションと整合しており、ファイバー代数が正しく実現されていることを保証する。
• この構成は微分同相変換に関して不変であり、チャート間で一貫して接続可能であり、接群ガロア全体にわたって正しく定義されている。
• 短完全列 $0 \to J \to \mathscr{S}_{r,c}(\mathscr{G}^T) \xrightarrow{e_0} \mathscr{S}(A\mathscr{G}) \to 0$ が確立され、$C^*$-代数的ケースに類似した形を取る。これにより、将来的なインデックス理論的構成が可能になる。
• この代数は、チェーン-コーンズ特徴類理論と整合する $K_0$-理論における新しい解析的インデックス準同型を定義するための枠組みを提供し、$C^\infty_c$-インデックスと $C^*$-インデックスの両方の制限を克服する。