[論文レビュー] A secret sharing scheme using groups

Dimitrios Panagopoulos|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2010

Cryptography and Data Security参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本論文は、有限生成表示群の語問題が解ける群を用いて、n人の参加者の中からt人以上が存在する場合にのみ秘密を復元可能な、群論に基づく新しい秘密分散方式を提案する。この方式は、秘密を群の元に符号化し、すべてのm個の関係式が存在する場合にのみその元が単位元と等しくなるように設計されており、t人未満の参加者では復元が不可能になる。

ABSTRACT

In this paper a secret sharing scheme based on the word problem in groups is introduced. The security of the scheme and possible variations are discussed in section 2. The article concludes with the suggestion of two categories of platform groups for the implementation of the scheme.

研究の動機と目的

• 秘密を共有配布の時点で事前に知らなくてもよい秘密分散方式の開発。秘密は共有配布後、動的に割り当て可能である。
• 有限生成表示群の可解語問題を活用し、情報理論的安全性を達成する。
• t人未満の参加者による合同体が、不完全な群表示を持つため、秘密を復元できないように保証する。
• 実装の効率性を考慮し、ポリアベライン群およびコクセター群を、実用的なプラットフォーム群として提案する。
• 単位元を表す語が大多数の関係式に依存するようにすることで、部分的関係攻撃を防ぐ。

提案手法

• 可解語問題を備えた有限生成表示群 G = ⟨x₁,…,xₖ | r₁,…,rₘ⟩ を選択し、m = (n choose t−1) 個の関係式を有する。
• {1,…,n} のすべての (t−1) 要素部分集合 A₁,…,Aₘ を列挙し、参加者に関係式を割り当てる。参加者 i は、i ∉ Aⱼ を満たす rⱼ を受け取る。
• 各参加者 i に、関係式の部分集合 Rᵢ を配布する。各 rⱼ が正確に t−1 人の参加者の集合に欠落しているように保証する。
• 二進秘密列 a₁⋯aₗ を符号化するため、wᵢ =₁ が G で成り立つのは aᵢ = 1 のときに限るような群の元 w₁,…,wₗ を構成する。
• 各 wᵢ が m 個の関係式の大部分を含むように要請することで、小規模な合同体による部分的復元を防ぐ。
• t人の参加者が完全な群表示を復元し、語問題を解くことで秘密を復元可能であるが、t人未満では不可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共有配布時に秘密が固定されていなくてもよい秘密分散方式を構築可能か？
• RQ2 有限生成表示群の語問題という群論的性質をどのように用いて、閾値tによるアクセス制御を実現できるか？
• RQ3 t人以上が秘密を復元可能であることを保証するための、群表示における最小限の代数的条件は何か？
• RQ4 部分的な関係式の知識や既知のメッセージパターンを悪用する攻撃に対して、どのように耐性を高められるか？
• RQ5 ポリアベライン群やコクセター群などの群のクラスは、語問題の効率的解法と強固なセキュリティ特性を備えた適切なプラットフォーム群として適しているか？

主な発見

• 秘密は共有配布後、最終的な復元段階でのみ必要となるため、動的な秘密割り当てが可能である。
• t人未満の参加者による合同体は、m 個未満の関係式を持つ群表示 G′ を得る。このとき、G において wᵢ =₁ であっても G′ では wᵢ =₁ でないことがある。
• 単位元を表す語 wᵢ が大多数の関係式に依存するという要請により、部分的関係式の知識での秘密復元が不可能になる。
• ポリアベライン群およびコクセター群は、可解語問題と豊富な代数的構造を備えるため、適切なプラットフォーム群として同定された。
• 交換子に基づく構成（例：∏[r′ⱼ, wⱼ]）を用いることで、関係構造がさらに隠蔽され、商に基づく攻撃が困難になる。
• 秘密に事前に定義された署名を埋め込むことで、メッセージ認証が可能となり、t人以上の参加者によるみずからのみが検証可能である。