[論文レビュー] A semilinear problem with a W^{1,1}_0 solution

Lucio Boccardo, Gisella Croce+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2012

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、分母に $|u|$ を含む非線形拡散項を有する退化半線形楕円型方程式について、非反射的ソボレフ空間 $W^{1,1}_0(\Omega)$ における分布的解の存在を確立する。右辺の $f \in L^2(\Omega)$ を近似し、あらかじめ得られる推定式、切り詰め技術、$L^2$ における弱収束を用いることで、著者らは解 $u$ が $W^{1,1}_0(\Omega) \cap L^2(\Omega)$ に属することを証明した。これは、以前の存在結果における $m=2$ の境界ケースを解消するものである。

ABSTRACT

We study a degenerate elliptic equation, proving the existence of a W^{1,1}_0 distributional solution.

研究の動機と目的

• 退化楕円型方程式 $\mathrm{div}\left(\frac{a(x)\nabla u}{(1+b(x)|u|)^2}\right)$ の形をした非線形拡散項を有する場合に、$W^{1,1}_0(\Omega)$ における分布的解の存在を確立すること。
• ソース項 $f$ の可積分性における境界ケース $m=2$ を扱うこと。ここでは、以前の結果では $q<2$ の $W^{1,q}_0$ 解またはエントロピー解しか得られなかった。
• 特に特異的または退化的である場合に、$s>1$ のための反射的 $W^{1,s}_0$ 空間を超えて、$W^{1,1}_0$ 解の理論を拡張すること。
• 標準的な $L^p$-に基づく手法がコンパクト性の欠如により失敗する場合に、非反射的ソボレフ空間における解の厳密な枠組みを提供すること。

提案手法

• $L^2(\Omega)$ 内のソース項 $f$ を、$|f_n| \leq |f|$ かつ $f_n \to f$ が $L^2(\Omega)$ で強収束する $L^\infty(\Omega)$ 内の有界関数列 $\{f_n\}$ で近似する。
• シュードラの定理を用いた固定点法により、切断された問題のバージョンに対して、$H^1_0(\Omega) \cap L^\infty(\Omega)$ 内の近似解 $u_n$ を構成する。
• $\psi_{i,k}$ が $u_n$ の符号を $k$ を超える領域で近似する切り詰めに基づくテスト関数 $|u_n| \psi_{i,k}(u_n)$ を適用し、$\nabla u_n$ および $u_n$ のあらかじめ得られる推定式を導出する。
• ビタリの定理を用いて $\{u_n^2\}$ の等積分性を証明し、$u_n$ が $L^2(\Omega)$ で $u$ に強収束することを示す。
• $\{\partial_i u_n\}$ の等積分性を確立し、ダンフォード＝ペティスの定理を適用して $\partial_i u_n$ が $L^1(\Omega)$ で $\partial_i u$ に弱収束することを示し、$u \in W^{1,1}_0(\Omega)$ を証明する。
• $\frac{\nabla u_n}{1+B|u_n|}$ が $L^2(\Omega)^N$ で $\frac{\nabla u}{1+B|u|}$ に弱収束すること、および重み $\frac{1+B|u_n|}{(1+b(x)|u_n|)^2}$ が $L^\infty(\Omega)$ で強収束することを用いて、弱形式における極限を取る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分母に $|u|$ を含む非線形拡散項を有する退化楕円型問題に対して、$L^2$ データを有する場合に、$W^{1,1}_0(\Omega)$ における分布的解が存在しうるか？
• RQ2 $f$ の可積分性における臨界ケース $m=2$ では、以前の結果では $q<2$ の $W^{1,q}_0$ 解またはエントロピー解しか得られなかったが、その場合の挙動は？
• RQ3 標準的な $L^p$-に基づくコンパクト性が欠落する場合に、非反射的空間 $W^{1,1}_0(\Omega)$ における解を得ることは可能か？
• RQ4 $u_n$ が $W^{1,1}_0$ で弱収束する場合に、非線形項 $\frac{a(x)\nabla u_n}{(1+b(x)|u_n|)^2}$ における極限をどのように取るか？

主な発見

• $f \in L^2(\Omega)$, $a(x) \in [\alpha, \beta]$, $b(x) \in [0, B]$ のとき、問題 (1) は $W^{1,1}_0(\Omega) \cap L^2(\Omega)$ 内の分布的解 $u$ を有する。
• すべての $\varphi \in W^{1,\infty}_0(\Omega)$ に対して、弱形式 $\int_\Omega \frac{a(x)\nabla u \cdot \nabla \varphi}{(1+b(x)|u|)^2} + \int_\Omega u\varphi = \int_\Omega f\varphi$ を満たす。
• 近似解列 $\{u_n\}$ は $L^2(\Omega)$ で $u$ に強収束するため、弱形式における低次の項および右辺の項の収束が保証される。
• $\{\nabla u_n\}$ は等積分性を有し、$\partial_i u_n$ は $L^1(\Omega)$ で $\partial_i u$ に弱収束するため、$u \in W^{1,1}_0(\Omega)$ であることが証明される。
• $\frac{\nabla u_n}{1+B|u_n|}$ の極限が $L^2(\Omega)^N$ で $\frac{\nabla u}{1+B|u|}$ に弱収束する。これは非線形作用素における極限の取り出しに不可欠である。
• 本結果は、以前の研究を改善し、$f$ の $L^m$ 可積分性における境界ケース $m=2$ にまで存在性を拡張した。以前の結果では、$q<2$ の $W^{1,q}_0$ 解またはエントロピー解しか得られなかった。