[論文レビュー] A Semiregularity Map for Modules and Applications to Deformations

Ragnar-Olaf Buchweitz, Hubert Flenner|ArXiv.org|Dec 31, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、複素空間上の完全複体に対して、余接複体のべき、アティyah類、トレース写像を用いて一般化された半正則写像を構成する。これは、イリューズのチャーン類の拡張を解析的設定にまで拡張したものであり、ブロッホの半正則写像と微小アーベル・ジャコビ写像を統一的に一般化する枠組みを提供する。モジュールの変形理論への応用やヒルベルト多様体および変動ホッジ予想への含意を含む。

ABSTRACT

This paper contains the details and complete proofs of our earlier announcement in math.AG/9907004 . We construct a general semiregularity map for algebraic cycles as asked for by S. Bloch in 1972. The existence of such a semiregularity map has well known consequences for the structure of the Hilbert scheme and for the variational Hodge conjecture. Aside from generalizing and extending considerably previously known results in this direction, we give new applications to deformations of modules that encompass, for example, results of Artamkin and Mukai. The formation of the semiregularity map here involves powers of the cotangent complex, Atiyah classes, and trace maps, and is defined not only for subspaces of manifolds but for perfect complexes on arbitrary complex spaces. It generalizes in particular Illusie's treatment of the Chern character to the analytic context and specializes to Bloch's earlier description of the semiregularity map for locally complete intersections as well as to the infinitesimal Abel-Jacobi map for submanifolds.

研究の動機と目的

• 1972年にブロッホが当初探していた、代数的サイクルのための一般化された半正則写像を構成すること。
• 導来代数幾何の道具を用いて、イリューズのチャーン類の扱い方を解析的文脈に拡張すること。
• ブロッホの局所的完備交差に対する半正則写像および微小アーベル・ジャコビ写像を含む、既存の半正則写像に関する結果を統一的かつ一般化すること。
• この写像をモジュールの変形理論に適用し、アターミンとムカイの結果を包含すること。
• ヒルベルト多様体および変動ホッジ予想の構造に関する新たな知見を提供すること。

提案手法

• 導来的設定において、余接複体のべきを用いて半正則写像を定義する。
• 複素空間上の完全複体に関連するアティyah類を、中心的要素として用いる。
• コホロロジー的不変量とサイクル類を結びつけるためにトレース写像を統合する。
• 部分多様体や局所的完備交差に限らず、完全複体にまで適用可能である。
• この写像が、ブロッホの半正則写像および微小アーベル・ジャコビ写像の両方を一般化することを確立する。
• 導来圏および解析的幾何の枠組みを用いることで、代数的多様体を越えて広く適用可能であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の完全複体に対して、複素空間上に一般化された半正則写像を構成できるか？
• RQ2 半正則写像は、微小アーベル・ジャコビ写像およびブロッホの元来の構成とどのように関係するか？
• RQ3 このような写像がモジュールの変形理論に与える含意は何か？
• RQ4 この構成は、解析的圏におけるイリューズのチャーン類をどのように拡張するか？
• RQ5 この写像は、ヒルベルト多様体および変動ホッジ予想の理解にどのように寄与するか？

主な発見

• 半正則写像は、部分多様体や局所的完備交差に限らず、複素空間上のすべての完全複体に対して定義される。
• この写像は、局所的完備交差に対するブロッホの半正則写像を一般化し、部分多様体に対しては微小アーベル・ジャコビ写像に特殊化される。
• 導来ファンクターとトレース写像を用いて、イリューズのチャーン類が解析的設定に拡張される。
• この写像は、モジュールの変形の研究に新たな道具を提供し、アターミンとムカイの結果を回復および拡張する。
• この写像の存在は、ヒルベルト多様体の構造を支援し、変動ホッジ予想に対する新たな視点を提供する。
• この枠組みは完全に厳密であり、完全な証明を含んでおり、著者らの以前の発表（math.AG/9907004）に基づいている。