[論文レビュー] On the geometry of formal Kuranishi theory

Herbert Clemens|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 1999

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、複素幾何における障害理論を一般化・統一し、Kähler多様体上のKodairaの原理を2つの設定へと拡張する。すなわち、コンパクトKähler多様体の抽象的変形と、固定された環境変形内での部分多様体の変形である。両者の文脈において、原則的コホロロジーが障害を消滅させることを確立し、コホモロジー的消滅と変形論的技法を用いて形式的Kuranishi理論の幾何的枠組みを提供する。

ABSTRACT

The principle cohomology of a Kaehler manifold annihilates obstructions has been known and exploited since pioneering work of Kodaira. This paper extends and unifies many known results in two contexts, abstract deformations of compact Kaehler manifolds and deformations of submanifolds within a given deformation of the ambient manifold.

研究の動機と目的

• コンパクト複素多様体を超えて、より広範な変形論的設定へ、原則的コホロロジーが障害を消滅させるKodairaの原理を一般化すること。
• コンパクトKähler多様体の抽象的変形と、固定された環境変形内での部分多様体の変形の両者を統一的に取り扱うこと。
• コホモロジー的消滅定理に基づいた、形式的Kuranishi理論の幾何的枠組みを確立すること。
• 原則的コホロロジーが、グローバルおよび相対的設定の両方において変形を遮害するか否かをどのように果たすかを明確にすること。

提案手法

• 形式的Kuranishi理論の枠組みを用いて、複素構造の無限小変形をパrametrizeする。
• 特に原則的コホロロジー群における障害の消滅に注目したコホモロジー的技法を適用する。
• 部分多様体を固定された環境変形族内での分析に向けた相対的変形設定を導入する。
• Dolbeaultコホモロジーと∂̄-複体を用いて、障害空間と原則的コホロロジーとの関係を分析する。
• Kuranishi写像によるKuranishi空間の可積分性に依拠し、障害が消える場合に形式的変形の存在を保証する。
• Kodaira-Spencerの変形論を用いて、グローバルおよび相対的文脈における接空間と障害空間の関係を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kodairaの原理（原則的コホロロジーが障害を消滅させる）を、コンパクトKähler多様体の抽象的変形へどのように拡張できるか。
• RQ2 固定された環境変形内での部分多様体の変形理論において、原則的コホロロジーがどのように障害を制御するか。
• RQ3 Kähler多様体の文脈における形式的Kuranishi空間の幾何的およびコホモロジー的構造は何か。
• RQ4 相対的および絶対的Kähler多様体の変形論が、原則的コホロロジーを通してどのように関連するか。
• RQ5 原則的コホロロジーが障害空間に作用する際に、障害空間が消えるための条件は何か。

主な発見

• コンパクトKähler多様体の原則的コホロロジーは、多様体の抽象的変形論において障害を消滅させることを示し、Kodairaの元々の結果を一般化する。
• 固定された環境変形内での部分多様体の変形において、同じ原則的コホロロジー群が相対的変形空間内の障害を制御し、消滅させる。
• コンパクトKähler多様体の形式的Kuranishi空間は、障害が原則的コホロロジーによって消滅する部分空間に含まれる場合に限り、非遮害的である。
• 統一的な枠組みにより、両設定における障害の消滅が、同一のコホモロジー的メカニズムによって支配されることを明らかにする。
• 原則的コホロロジーが効果的に作用する場合、部分多様体の相対的変形論は、環境変形の非遮害的性質を引き継ぐ。
• 本稿は、Kuranishi写像の原則的コホロロジーに基づく幾何的解釈を確立し、その可積分性における役割を明確にする。