[論文レビュー] A series of word-hyperbolic Coxeter groups

Anna Felikson, Pavel Tumarkin|ArXiv.org|Jul 19, 2005

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、各正の整数 $k$ に対して、$k$ 個の双曲的4次元反射群のコピーを、三重辺を備えた完全グラフで接続することで、$G_k$ と表される語-双曲的コクセター群の族を構成する。この群は語-双曲的であることが示され、コクセター図形の負の慣性指数が $k$ にちょうど等しくなることが証明され、したがって $O(n,k-1)$ に反射群として埋め込むことはできない。これはポティアガイロが提起した符号の障害に関する問題を解決するものである。

ABSTRACT

For each positive integer $k$ we present an example of Coxeter system $(G_k,S_k)$ such that $G_k$ is a word-hyperbolic Coxeter group, for any two generating reflections $s,t\in S_k$ the product $st$ has finite order, and the Coxeter graph of $S_k$ has negative inertia index equal to $k$. In particular, $G_k$ cannot be embedded into pseudo-orthogonal group $O(n,k-1)$ for any $n$ as a reflection group with generating set being reflections w.r.t. $(G_k,S_k)$

研究の動機と目的

• 各 $k \in \mathbb{N}$ に対して、反射の生成集合 $S_k$ を持つ語-双曲的コクセター群 $G_k$ を構成すること。
• $(G_k, S_k)$ のコクセター図形 $\Sigma_k$ が負の慣性指数をちょうど $k$ に持つことを示すこと。これは符号の障害を示唆する。
• L. ポティアガイロが提起した、このような群が擬等長群 $O(n,k-1)$ に反射生成子を用いて埋め込めないという問題を解決すること。
• ビンバーグの公式を用いて行列式を計算することで、$\Sigma_k$ の符号が $(4k, k)$ であることを示すこと。
• コクセター図形に無限大で接続されていない部分グラフが存在しないことを確認することで、$G_k$ が語-双曲的であることを確立すること。

提案手法

• $G_k$ を、5生成子を持つ双曲的コクセター群 $G_1$（$H_4$ と同型）の $k$ 個のコピーとして構成する。各コピーは $\mathbb{H}^4$ 上に作用する。
• $i \equiv j \equiv 1 \pmod{5}$ ならば $(r_i r_j)^5 = 1$、それ以外は $(r_i r_j)^2 = 1$ となる関係を追加し、コピー同士を完全グラフ（三重辺付き）で接続する。
• ムソンの基準を用いる：$G_k$ が語-双曲的であるための十分条件は、どの未接続部分グラフのペアも無限大群を生成しないこと。これは、すべてのこのような部分グラフが中心の完全グラフに属するため成り立つ。
• ビンバーグの公式を用いて $\Sigma_k$ の行列式を計算する。これは、辺重み $\cos(\pi/m)$ を持つ、互いに素な向き付きサイクルの列の和として表される。
• 完全グラフの $k$ 頂点上における単体とハミルトン閉路の組み合わせ的数え上げを用いて、$\det(\Sigma_k)$ の再帰的関係を導出する。
• 数学的帰納法により、$\det(\Sigma_k) = \frac{(2 - \sqrt{5})^k}{2^{5k}}(k+1)$ が成り立つことを証明する。この行列式の符号が $(-1)^k$ であることから、負の慣性指数が $k$ にちょうど等しいことが確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 語-双曲的コクセター群として、そのコクセター図形の負の慣性指数を任意に大きくできるか？
• RQ2 このような群が $O(n,k-1)$ に反射生成子を用いて埋め込めない根本的障害は存在するか？
• RQ3 コクセター図形 $\Sigma_k$ の符号が、任意の不変二次形式の最小負の慣性指数を一意に決定するか？
• RQ4 複雑なコピー間関係があっても、コクセター図形の構造的制約によって語-双曲的性が保証されるか？
• RQ5 $k$ 個の $H_4$ のコピーが三重辺付き完全グラフで接続されたとき、コクセター図形 $\Sigma_k$ の正確な行列式は何か？

主な発見

• 各 $k$ に対して、$G_k$ は語-双曲的である。これはムソンの基準により確認され、どの未接続部分グラフのペアも無限大群を生成しないことから導かれる。
• コクセター図形 $\Sigma_k$ は負の慣性指数をちょうど $k$ に持つ。これは $\det(\Sigma_k)$ の符号が $(-1)^k$ であることを示すことにより証明された。
• $\Sigma_k$ の行列式は $\det(\Sigma_k) = \frac{(2 - \sqrt{5})^k}{2^{5k}}(k+1)$ に等しく、ビンバーグの公式に基づく再帰的関係から導出された。
• $\Sigma_k$ の正の慣性指数は $4k$ 以上である。これは各 $H_4$ コピーが正の固有値を 4 個持つことによる。
• $\Sigma_k$ の符号が $(4k, k)$ であるため、任意の $n$ に対して $G_k$ は $O(n,k-1)$ に反射群として埋め込めない。これは慣性指数の障害による。
• 本構成により、すべての $k$ に対して明示的な表示とコクセター図形（特に $\Sigma_3$ の図示）が得られた。