[論文レビュー] A seventeenth-order polylogarithm ladder

David H. Bailey, David Broadhurst|ArXiv.org|Jun 20, 1999

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ひとこと要約

この論文は、レーマー多項式から導かれる最小のサルム数 α₁ を用いて、17階のポリログラスラダーを初めて構築した。630番目のインデックスにおける円分関係と PSLQ アルゴリズムを活用し、Li₁₇(α₁⁻ᵏ) と π²ʲ(log α₁)¹⁷⁻²ʲ の合計125個の定数を含む整数関係を経験的に発見した。この関係は59,000桁以上で検証され、17階における一意なラダーであることが確認された。

ABSTRACT

Cohen, Lewin and Zagier found four ladders that entail the polylogarithms ${ m Li}_n(α_1^{-k}):=\sum_{r>0}α_1^{-k r}/r^n$ at order $n=16$, with indices $k\le360$, and $α_1$ being the smallest known Salem number, i.e. the larger real root of Lehmer's celebrated polynomial $α^{10}+α^9-α^7-α^6-α^5-α^4-α^3+α+1$, with the smallest known non-trivial Mahler measure. By adjoining the index $k=630$, we generate a fifth ladder at order 16 and a ladder at order 17 that we presume to be unique. This empirical integer relation, between elements of $\{{ m Li}_{17}(α_1^{-k})\mid0\le k\le630\}$ and $\{π^{2j}(\logα_1)^{17-2j}\mid 0\le j\le8\}$, entails 125 constants, multiplied by integers with nearly 300 digits. It has been checked to more than 59,000 decimal digits. Among the ladders that we found in other number fields, the longest has order 13 and index 294. It is based on $α^{10}-α^6-α^5-α^4+1$, which gives the sole Salem number $α<1.3$ with degree $d<12$ for which $α^{1/2}+α^{-1/2}$ fails to be the largest eigenvalue of the adjacency matrix of a graph.

研究の動機と目的

• 既知の16階ポリログラスラダーを、最小の既知のサルム数 α₁ を用いて17階に拡張すること。
• 奇数階においてはラダーが存在しないという先行の主張とは対照的に、17階にラダーが存在するかどうかを調査すること。
• 630番目のインデックスにおける円分恒等式に基づき、ポリログラス値と π および log α₁ の累乗との間の新しい経験的整数関係を確立すること。
• 円分関係、サルム数、および数体内のポリログラスラダーの構造との関係を調査すること。
• 高精度算術と PSLQ アルゴリズムを用いて、発見された関係の数値的安定性と正しさを検証すること。

提案手法

• 著者たちは、レーマー多項式から導かれるサルム数 α₁ に対して、630番目のインデックスにおける円分関係を同定し、17階のラダー構築を可能にした。
• PSLQ 整数関係探索法を用いて、Li₁₇(α₁⁻ᵏ) と π²ʲ(log α₁)¹⁷⁻²ʲ の線形結合が ζ(17) の有理数倍に等しいことを特定した。
• アルゴリズムは、4,000桁未満の作業精度を用いた高精度算術を用い、関係が59,000桁以上にわたり検証された。
• 集合 D(S) は、特定の36個の整数（630を含む）の集合 S から導かれたもので、S の要素の約数であり、非ゼロのポリログラス値を生成する。
• 関係に現れる係数は、ほぼ300桁の整数であり、部分的に因数分解され、数値的偶然の確率が 10⁻⁵⁵⁰⁰⁰ 未満であることが確認された。
• この手法は、レーマー多項式が定める数体の自己双対性と、円分ノルム条件に基づく、可能なインデックスを制限するものである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇数階においてはラダーが存在しないという先行の懸念とは対照的に、17階にポリログラスラダーが存在するか？
• RQ2 サルム数 α₁ に対して630番目のインデックスにおける円分関係が、ポリログラス空間に新たなラダーを生成できるか？
• RQ3 Li₁₇(α₁⁻ᵏ) と π²ʲ(log α₁)¹⁷⁻²ʲ の積との間の整数関係の構造は何か？関係に含まれる項の数はいくつあるか？
• RQ4 発見された関係は高精度検証に対して数値的に安定しているか、かつ頑健か？
• RQ5 D(S) のインデックス集合は、最小かつ重複のないラダーを生成するために果たす役割は何か？

主な発見

• 17階ポリログラスラダーが発見され、16階の既知のラダーを拡張したものであり、一意であると想定される。
• 関係には125個の非ゼロ整数係数が含まれており、最大の係数はほぼ300桁の長さであり、59,000桁以上で検証された。
• ζ(17) の係数は、2⁷ × 3⁷ × 5⁴ × 7 × 11 × 13 × 17 × 722063 × 15121339 × 379780242109750106753 × 5724771750303829791195961 × C₂₁₇ に部分的に因数分解され、ここで C₂₁₇ は217桁の合成数である。
• このラダーは、レーマー多項式のより大きな実根として得られる最小の既知のサルム数 α₁ ≈ 1.17628 に基づいている。この数は、最小の非自明なマラー測度をもたらす。
• インデックス集合 D(S) には115個の正の整数が含まれており、すべて集合 S = {29, 47, 50, ..., 630} の要素の約数であり、k=630 が最大のインデックスである。
• 関係における数値的偶然の確率は 10⁻⁵⁵⁰⁰⁰ 未満であり、極めて高い信頼性で経験的結果が確認された。