[論文レビュー] A short course on Witten Helffer-Sjöstrand theory

Dan Burghelea|ArXiv.org|Jan 8, 2001

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、リーマン計量と三角形分割を用いて計算される位相的不変量を比較するための、モース理論およびホッジ＝ド・ラーム理論の強力な解析的精密化として、ウィッテン＝ヘルファ＝シュートランド（WHS）理論を提示する。主な貢献は、モース＝ボット形式、平坦ベクトル bundle、$L^2$-コホロジーへと拡張可能な統一的枠組みを提供し、解析的不変量と組合せ的不変量（$L^2$-ベッチ数や torsion 不変量を含む）の同型を証明することにある。

ABSTRACT

Witten-Helffer-Sjöstrand theory is an addition to Morse theory and Hodge-de Rham theory for Riemannian manifolds and considerably improves on them by injecting some spectral theory of elliptic operators. It can serve as a general tool to prove results about comparison of numerical invariants associated to compact manifolds analytically, i.e. by using a Riemannian metric, or combinatorially, i.e. by using a triangulation. It can be also refined to provide an alternative presentation of Novikov Morse theory and improve on it in many respects. In particular it can be used in symplectic topology and in dynamics. This material represents my Notes for a three lectures course given at the Goettingen summer school on groups and geometry, June 2000.

研究の動機と目的

• ウィッテンラプラシアンのスペクトル論を用いて、モース理論およびホッジ＝ド・ラーム理論を精緻化する統一的解析的枠組みを構築すること。
• リーマン計量と三角形分割を用いて計算される位相的不変量の等価性を確立すること。
• 一般化されたモース関数、閉1形式、平坦 bundle、無限大の基本群をもつ多様体上の $L^2$-コホロジーへと理論を拡張すること。
• $L^2$-設定における解析的不変量とリードマイスター torsion の等価性を証明する基盤を提供すること。
• 境界をもつ bordism および有限型のヒルベルトモジュールにおける表現へと理論を拡張すること。

提案手法

• モース関数 $h$ を用いたド・ラーム複体のウィッテン変形により、一意パラメータ族のウィッテンラプラシアン $\Delta_q(t)$ を得る。
• ミニ・マックス原理およびスペクトルギャップ推定を用いて、臨界点付近におけるウィッテンラプラシアンのスペクトルを分析する。
• 臨界点付近で $h$ が二次形式で計量がユークリッド的となる「適切な座標」を採用し、ラプラシアンを調和振動子形式に還元する。
• 不安定多様体 $W_x^-$ および軌道のコンパクト化定理を証明し、モース＝スメール条件のもとで横断的かつ滑らかな構造が保証されることを示す。
• 平坦接続および平坦 bundle 上のヘルミート構造を用いたねじれ複体への理論の拡張により、スペクトル的およびコホモロジー的性質を保存する。
• 特に $L^2(\Gamma)$ 上の正則表現を含む無限次元表現へと議論を適応し、$L^2$-ベッチ数およびノヴィコフ＝シュービン不変量の不変性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ウィッテンラプラシアンの変形を用いたスペクトル論により、モース不等式およびホッジ理論を再導出可能か？
• RQ2 WHS理論を用いて、解析的不変量（例：$L^2$-ベッチ数）と組合せ的不変量（例：三角形分割から得られるもの）の等価性をどの程度示せるか？
• RQ3 WHS理論は閉1形式およびモース＝ボット関数へとどのように拡張可能か？また、ノヴィコフ＝モース理論に比べてどのような改良をもたらすか？
• RQ4 理論は、$L^2(\Gamma)$ 上の正則表現を含む無限次元表現へと適応可能か？ そして、$L^2$-不変量の不変性を証明できるか？
• RQ5 境界をもつ多様体および bordism への理論の拡張にはどのような修正が必要か？ また、接合公式はどのようにして導かれるか？

主な発見

• ウィッテンラプラシアン $\Delta_q(t)$ は臨界点付近でスペクトルギャップを示し、ミニ・マックス原理および調和振動子推定の適用が可能になる。
• コンパクト化定理により、モース＝スメール条件のもとで不安定多様体 $W_x^-$ が滑らかに埋め込まれ、横断的であることが保証される。これは、基本的なモース理論の一般化である。
• C1–C3 を満たす任意の一般化された三角形分割 $(h,g)$ に対して、ウィッテンラプラシアンの変形は、ド・ラーム複体と細胞複体間のコホモロジー同型を保存する。
• ヘルミート構造をもつ平坦ベクトルバンドルに対しても理論は拡張可能であり、臨界点付近で構造が平行であれば、解析的コホモロジーと組合せ的コホモロジーの同型が保たれる。
• $L^2$-コホモロジーにおいて、理論は解析的および組合せ的 $L^2$-ベッチ数およびノヴィコフ＝シュービン不変量が一致することを証明する。これは、無限大の基本群をもつ多様体に対しても成立する。
• 同じ根幹的議論が、有限型の $\mathcal{A}$-ヒルベルトモジュール、特に $L^2(\Gamma)$ 上の正則表現への表現へも適用可能であり、解析的および組合せ的モデル間での $L^2$-不変量の不変性が証明される。