[論文レビュー] On the topology and analysis of a closed one form. I (Novikov's theory revisited)

Dan Burghelea, Stefan Haller|ArXiv.org|Jan 5, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、閉多様体上の閉1形式のノヴィコフ理論を再考し、ディリクレ級数の収束を制御する新しい数値不変量 $\rho(\omega,g) \in [0,\infty]$ を導入する。$\rho < \infty$ のとき、ノヴィコフ複体はノヴィコフ環のより小さい部分環 $\Lambda'_{[\omega],\rho}$ 上の余複体から生じ、かつ $t \to \infty$ のとき de Rham複体 $d + t\omega$ のスペクトル幾何から全体が回復可能であることが示され、ウィッテンのモース的アプローチがモース1形式へと拡張される。

ABSTRACT

We consider systems $(M,ω,g)$ with $M$ a closed smooth manifold, $ω$ a real valued closed one form and $g$ a Riemannian metric, so that $(ω,g)$ is a Morse-Smale pair, Definition~2. We introduce a numerical invariant $ρ(ω,g)\in[0,\infty]$ and improve Morse-Novikov theory by showing that the Novikov complex comes from a cochain complex of free modules over a subring $Λ'_{[ω],ρ}$ of the Novikov ring $Λ_{[ω]}$ which admits surjective ring homomorphisms $\ev_s:Λ'_{[ω],ρ} o\C$ for any complex number $s$ whose real part is larger than $ρ$. We extend Witten-Helffer-Sjöstrand results from a pair $(h,g)$ where $h$ is a Morse function to a pair $(ω,g)$ where $ω$ is a Morse one form. As a consequence we show that if $ρ

研究の動機と目的

• ノヴィコフ理論を精緻化するため、ノヴィコフ複体の収束を制御する新しい不変量 $\rho(\omega,g)$ を導入すること。
• ノヴィコフ環 $\Lambda_{[\omega]}$ のより小さい部分環 $\Lambda'_{[\omega],\rho}$ 上の余複体としてノヴィコフ複体が生じることを示すこと。
• モース関数からモース1形式へとウィッテンのスペクトル的アプローチを拡張すること、de Rham複体 $d + t\omega$ を用いること。
• $\rho < \infty$ のとき、ノヴィコフ複体が $(M,\omega,g)$ のスペクトル幾何から完全に回復可能であることを証明すること。
• $\operatorname{Re}(s) > \rho$ を満たす $s \in \mathbb{C}$ をパrameterとする、$\mathbb{C}$ 上の有限次元余複体の族を、評価写像 $\operatorname{ev}_s$ を通じて構成すること。

提案手法

• ディリクレ級数 $\sum_{\hat{\alpha} \in \mathcal{P}(x,y)} I_q(x,y,\hat{\alpha}) e^{-a \cdot [\omega](\hat{\alpha})}$ の絶対収束を保証する最小の $a \in \mathbb{R}_{\geq 0}$ を $\rho(\omega,g)$ として定義する。
• $\operatorname{Re}(s) > \rho$ に対して収束する形式的級数からなる $\Lambda'_{[\omega],\rho} \subset \Lambda_{[\omega]}$ を定義し、$\operatorname{ev}_s: \Lambda'_{[\omega],\rho} \to \mathbb{C}$ を通じた評価写像を導入する。
• $C^q$ を指数 $q$ の臨界点の張る空間とし、$\partial^q_s(x,y) = I_{q+1,s}(x,y)$ で与えられるディリクレ級数 $I_{q+1,s}(x,y) = \sum_{\hat{\alpha} \in \mathcal{P}(x,y)} I_{q+1}(x,y,\hat{\alpha}) e^{-s \cdot [\omega](\hat{\alpha})}$ を用いて、$\mathbb{C}$ 上の余複体 $(C^*, \partial^*_s)$ の族を構成する。
• 大きな $t$ に対して、de Rham複体 $\Omega^*(M)$ に作用する $d_t = d + t\omega \wedge \cdot$ を用いて、$\Omega^*_{t,\text{sm}}(M)$ と $\Omega^*_{t,\text{la}}(M)$ への正規直交分解を定義する。
• 臨界点から局所化形式 $\bar{\omega}_{y,t}$ への写像 $J^q_t: \operatorname{Maps}(\operatorname{Cr}_q(\omega), \mathbb{R}) \to \Omega^q_{t,\text{sm}}(M)$ を構成する。
• 補題7を用いて一様な $C^p$-推定 $\|Q^q_t J^q_t - J^q_t\|_{C^p} \leq C_4 e^{-C_5 t} \|f\|$ を確立し、射影の漸近的直交性と収束性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $t \to \infty$ のとき、de Rham複体 $d + t\omega$ のスペクトルデータからノヴィコフ複体を再構成できるか？
• RQ2 ノヴィコフ境界写像を符号化するディリクレ級数の収束領域はどのように特定できるか？
• RQ3 ノヴィコフ環のより小さい部分環で、ノヴィコフ複体を支え、$\mathbb{C}$ への評価が可能であるものがあるか？
• RQ4 de Rham複体 $d + t\omega$ のスペクトル幾何は、モース1形式の臨界点の位相的性質をどのように反映するか？
• RQ5 $\rho(\omega,g)$ が有限となる条件は何か、またそれが何を制御するか？

主な発見

• 不変量 $\rho(\omega,g)$ は、ディリクレ級数 $\sum_{\hat{\alpha} \in \mathcal{P}(x,y)} I_q(x,y,\hat{\alpha}) e^{-a \cdot [\omega](\hat{\alpha})}$ の絶対収束を保証する最小の $a \in \mathbb{R}_{\geq 0}$ として定義され、$[0,\infty]$ に値をとる。
• $\rho(\omega,g) < \infty$ のとき、ノヴィコフ複体はノヴィコフ環の部分環 $\Lambda'_{[\omega],\rho} \subset \Lambda_{[\omega]}$ 上の余複体として生じ、$\operatorname{Re}(s) > \rho$ を満たすすべての $s \in \mathbb{C}$ に対して、全射評価写像 $\operatorname{ev}_s: \Lambda'_{[\omega],\rho} \to \mathbb{C}$ が存在する。
• $\mathbb{C}$ 上の複体における境界写像 $\partial^q_s$ は、$\operatorname{Re}(s) > \rho$ に対して正則であるディリクレ級数 $I_{q+1,s}(x,y) = \sum_{\hat{\alpha} \in \mathcal{P}(x,y)} I_{q+1}(x,y,\hat{\alpha}) e^{-s \cdot [\omega](\hat{\alpha})}$ で与えられる。
• $t \geq T_0$ のとき、de Rham複体 $d_t = d + t\omega \wedge \cdot$ は、正規直交な部分複体 $\Omega^*_{t,\text{sm}}(M)$ と $\Omega^*_{t,\text{la}}(M)$ への自然な直和分解を持つ。$\dim \Omega^q_{t,\text{sm}}(M) = \# \operatorname{Cr}_q(\omega)$ が成り立つ。
• $\Omega^q_{t,\text{sm}}(M)$ への射影 $Q^q_t$ は、$\|Q^q_t J^q_t - J^q_t\|_{C^p} \leq C_4 e^{-C_5 t} \|f\|$ を満たし、スペクトル射影が臨界点形式へ指数的収束することを示唆する。
• 等長写像 $R^q_t: \operatorname{Maps}(\operatorname{Cr}_q(\omega), \mathbb{R}) \to \Omega^q_{t,\text{sm}}(M)$ は、$y$ の不安定多様体上で $\|E_{t,y} - \bar{\omega}_{y,t}\| \leq C/t$ を満たし、$y$ の近傍外では $\|E_{t,y}\| \leq Ce^{-\epsilon t}$ が成り立つ。これにより、漸近的局在化が保証される。