[論文レビュー] A simple derivation of Born's rule with and without Gleason's theorem

Alexia Auffèves, Philippe Grangier|arXiv (Cornell University)|May 6, 2015

Quantum Mechanics and Applications参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、従来の公理に依存せずに、量子化の現象論に基盤を置く公理群から、ボーンの法則および量子形式主義の物理的導出を提示する。三つの物理的公理—局所性、モダリティ、連続的局所変換—と、グレーソンの定理に等価な数学的付加公理を組み合わせることで、ボーンの法則とユニタリ発展が導かれ、離散的モダリティと連続的局所との相互作用から量子確率が生じる、新たな実在論的枠組みが提示される。

ABSTRACT

We present a derivation of Born's rule and unitary transforms in Quantum Mechanics, from a simple set of axioms built upon a physical phenomenology of quantization. Combined to Gleason's theorem, this approach naturally leads to the usual quantum formalism, within a new conceptual framework that is discussed heuristically in details. The structure of Quantum Mechanics, from its probabilistic nature to its mathematical expression, appears as a result of the interplay between the quantized number of "modalities" accessible to a quantum system, and the continuum of "contexts" that are required to define these modalities.

研究の動機と目的

• 量子力学における標準的な公理的アプローチを避けて、ボーンの法則の物理的動機づけを与えること。
• 確率、ヒルベルト空間、ユニタリ発展を含む量子力学の構造が、量子化および局所性の物理的原理から自然に生じることを示すこと。
• 物理的実在性を、系そのものではなく、系・局所・モダリティ（CSM）の共同的性質として再定義することにより、量子力学と物理的現実主義を調和させること。
• グレーソンの定理が単なる数学的結果ではなく、実験的現象論に根ざした公理から物理的に裏付けられることを示すこと。
• 確率の役割を明らかにし、異なる測定局所における不兼容なモダリティの結果として、確率が避けがたいものであることを示すこと。

提案手法

• 三つの物理的公理を提案：(1) モダリティとは、ある局所内での予測可能で繰り返し可能な物理的量の集合である；(2) 与えられた局所に対して、正確に N 個の互いに排他的なモダリティが存在する；(3) 局所変換は連続群 G によって生成される。
• グレーソンの定理の仮定に等価な第四の数学的公理を導入し、確率測度がトレース則によって与えられることを保証する。
• 非局所性仮定（確率は同一局所内の他の射影演算子に依存せず、射影子にのみ依存する）を用いて、確率測度の形を制約する。
• 非局所性仮定を満たす任意の確率測度が、p(i) = Tr(ρP_i) と表現可能であることを示すことにより、ボーンの法則を一意に導出する。
• モダリティとヒルベルト空間内の直線との間に一対一対応を確立し、射影演算子と直交射影との間に対応を設定する。
• 局所変換の連続群構造からユニタリ発展が生じることを示し、物理的操作とユニタリ演算子との関係を結ぶ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボーンの法則は、公理としてではなく物理的原理から導出可能か？
• RQ2 離散的モダリティと連続的局所との相互作用が、どのように量子確率を生じさせるか？
• RQ3 量子力学におけるグレーソンの定理の数学的構造に物理的意味はあるか？
• RQ4 量子力学は、局所・系・モダリティ（CSM）の物理的実在論から再構築可能か？
• RQ5 重ね合わせやもつれを含む標準的な量子形式主義は、測定公理を導入せずに物理的公理から導出可能か？

主な発見

• ボーンの法則は、量子化、局所性、非局所性の物理的公理と整合する唯一の確率規則として導出される。
• ヒルベルト空間、射影演算子、スペクトル定理を含む量子形式主義は、公理群から自然に生じ、波動関数や測定崩壊を仮定せず導出可能である。
• あるモダリティから別のモダリティへの遷移確率は、関連する射影子にのみ依存し、広い局所に依存しない。これは非局所性仮定を支持する。
• ユニタリ時間発展は、局所変換の連続群構造から生じ、物理的操作とユニタリ演算子が結びつく。
• もつれは、複合局所における共同モダリティとして理解され、分離可能なモダリティとは不兼容であるが、非局所性や遠隔作用を要しない。
• 波動関数は物理的対象ではなく、計算の道具である。物理的実在性は、系・局所・モダリティの共同的定義に基づく文脈的かつ関係的である。