[論文レビュー] A simple finite element method for the boundary value problem with a Riemann-Liouville derivative

Bangti Jin, Raytcho Lazarov+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2015

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Riemann-Liouville微分係数の次数 $\alpha \in (3/2, 2)$ を持つ境界値問題に対して、新たな有限要素法を提案する。この手法は、Riemann-Liouville積分を用いて問題を変換し、解の特異性を滑らかにすることで、標準的な有限要素法が達成可能な最適な $L^2$ 収束率を実現する。本手法は最適収束を達成し、分数階Sturm-Liouville問題へ自然に拡張可能である。

ABSTRACT

We consider a boundary value problem involving a Riemann-Liouville fractional derivative of order $α\in (3/2,2)$ on the unit interval $(0,1)$. The standard Galerkin finite element approximation converges slowly due to the presence of singularity term $x^{α-1}$ in the solution representation. In this work, we develop a simple technique, by transforming it into a second-order two-point boundary value problem with nonlocal low order terms, whose solution can reconstruct directly the solution to the original problem. The stability of the variational formulation, and the optimal regularity pickup of the solution are analyzed. A novel Galerkin finite element method with piecewise linear or quadratic finite elements is developed, and $L^2(D)$ error estimates are provided. The approach is then applied to the corresponding fractional Sturm-Liouville problem, and error estimates of the eigenvalue approximations are given. Extensive numerical results fully confirm our theoretical study.

研究の動機と目的

• Riemann-Liouville微分係数を伴う分数階BVPに対して、標準的なガレルキンFEMが解の特異性のため収束が遅いという問題を解決すること。
• 解に $x^{\alpha-1}$ 特異性が存在する状況でも、安定的かつ効率的で高精度な有限要素法を開発し、最適収束率を維持すること。
• Riemann-Liouville微分係数を伴う分数階Sturm-Liouville問題へこの手法を拡張し、固有値の近似に高い精度をもたらすこと。
• 変換された変分式およびその有限要素離散化に関する厳密な安定性と誤差解析を提供すること。

提案手法

• Riemann-Liouville積分作用素 ${}_0I_x^{2-\alpha}$ を用いて、元の分数階BVPを、非局所的低次の項を含む2階2点境界値問題に変換する。
• この変換により、特異項 $x^{\alpha-1}$ が滑らかな関数 $x$ に写像され、標準的な有限要素近似が可能になる。
• 重み付きSobolev空間を用いて変換された問題の安定な変分式を導出し、その適切性を解析する。
• 変換された問題に、連続的な一次および二次の有限要素を適用し、最適な $L^2(D)$ 誤差推定を達成する。
• 変換された解から元の解を分数階微分を用いて再構成し、数値計算の安定性を確保するために expm1 関数を用いる。
• 手法を分数階Sturm-Liouville問題に拡張し、固有値近似の収束率を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異性を有する分数階BVPに対して、変換に基づく有限要素法が、Riemann-Liouville微分係数を伴う場合でも最適な $L^2$ 収束率を達成できるか。
• RQ2 Riemann-Liouville積分 ${}_0I_x^{2-\alpha}$ を用いた問題変換が、特異性 $x^{\alpha-1}$ を滑らかな関数に効果的に滑らかにできるか。
• RQ3 提案手法が、証明可能な収束性を有する固有値近似が得られる分数階Sturm-Liouville問題へ拡張可能か。
• RQ4 変換された変数における変分式の安定性および正則性挙動はいかなるものか。

主な発見

• 変換された問題は、最適な正則性の向上を伴う安定な変分式を有し、有限要素近似において最適な収束率を達成可能である。
• 一次要素では $O(h^2)$、二次要素では $O(h^3)$ の最適な $L^2(D)$ 誤差推定が確立された。
• 特異性を直接差し引くのではなく、変換によって特異性を解消することで、標準的なガレルキンFEMに比べて収束性が向上している。
• 本手法は分数階Sturm-Liouville問題へも拡張可能であり、固有値近似の収束率が確立された。
• 数値結果により理論的誤差推定が確認され、さまざまなテストケースにおいて本手法の効率性と頑健性が示された。
• 誤差の蓄積を避けるために、解再構成における分数階微分の計算は、expm1関数を用いて安定的に実行された。