[論文レビュー] A simple iterative algorithm for maxcut

Sihong Shao, Dong Zhang+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 21被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、丸め処理を必要とせず、連続的かつ同値な定式化を直接解くことで、カット値の単調な改善と有限回の収束を保証する、新しい単純反復（SI）アルゴリズムを提案する。この手法は、最先端の組み合わせ的アルゴリズムと比較して、カット品質比が最低0.986、パerturbationに基づく局所最適解の脱出戦略を用いることで0.997にまで向上する。

ABSTRACT

We propose a simple iterative (SI) algorithm for the maxcut problem through fully using an equivalent continuous formulation. It does not need rounding at all and has advantages that all subproblems have explicit analytic solutions, the cut values are monotonically updated and the iteration points converge to a local optima in finite steps via an appropriate subgradient selection. Numerical experiments on G-set demonstrate the performance. In particular, the ratios between the best cut values achieved by SI and those by some advanced combinatorial algorithms in [Ann. Oper. Res. 248 (2017) 365] are at least $0.986$ and can be further improved to at least $0.997$ by a preliminary attempt to break out of local optima.

研究の動機と目的

• 既存の連続的手法で一般的に必要な丸め処理を回避する、連続的かつ反復的なmaxcutアルゴリズムの開発。
• アルゴリズム内のすべてのサブプロブレムが明示的な解析的解を持つことを保証し、計算のオーバーヘッドと複雑さを低減する。
• 適切な部分勾配選択により、カット値の単調な改善を伴い、局所最適解への有限回の収束を確立する。
• 標準的なG-setインスタンス上でアルゴリズムの性能を評価し、CirCutのような最先端の組み合わせ的・連続的手法と比較する。
• 特にパerturbation技術を用いた戦略を通じて、局所最適解からの脱出を検討し、解の品質をさらに向上させる。

提案手法

• 目的関数 $ F(\mathbf{x}) = \frac{I(\mathbf{x})}{\|\mathbf{x}\|_\infty} $ を用いて、maxcut問題を連続的で同値な分数プログラミング問題に定式化する。ここで $ I(\mathbf{x}) = \sum_{\{i,j\} \in E} w_{ij} |x_i - x_j| $ である。
• Dinkelbach型の反復スキームを提案し、分数問題を閉形式解を持つ一連のサブプロブレムに変換する。
• 各内部サブプロブレムに対して正確な解析的解法（定理3.3）を採用し、外部ソルバーへの依存を排除する。
• 活性エッジ集合に基づく部分勾配選択を用いることで、有限ステップ内で停留在点に収束することを保証する。
• 局所最適解からの脱出を図るためのパerturbation戦略を導入し、解の品質をベースラインSIアルゴリズムを上回るように向上させる。
• 初期化にスペクトルカット（SC）解を用いることで、初期点の品質を向上させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 丸め処理を必要とせず、高品質な解を得られる連続的maxcutアルゴリズムを設計可能か？
• RQ2 反復的maxcutアルゴリズムにおけるすべてのサブプロブレムを解析的に解けるか？その結果、より高速かつ安定した収束が達成されるか？
• RQ3 解析的サブプロブレムを備えた本稿で提案する反復手法は、局所最適解へ単調に収束するか？
• RQ4 CirCutのような最先端の組み合わせ的・連続的手法と比較して、SIアルゴリズムの解の品質と効率性はいかがなものか？
• RQ5 パerturbationに基づく戦略は、局所最適解から脱出でき、さらにカット値を向上させることができるか？

主な発見

• SIアルゴリズムは、G-setインスタンスにおいて、最先端の組み合わせ的アルゴリズムとのカット値比で最小0.986、最大0.997を達成する。
• 平均的にSIアルゴリズムは、CirCut0のカット品質を0.997の要因で上回り、反復回数が著しく少なく、実行時間も短い。
• 平均して25～100回の反復で収束し、ほとんどのインスタンスで1秒未塔のウォルクロック時間で処理が完了し、CirCutを上回る速度性能を示す。
• パerturbationを強化したバージョン（SI_PERTURB）は、すべてのテストインスタンスでCirCutを上回るカット値を達成し、平均比は0.997である。
• 適切な部分勾配選択戦略を採用することで、有限ステップ内で局所最適解に収束する。
• 本手法は頑健であり、スペクトルカット解からの初期化が可能で、既存の解を改善・精錬できる。