[論文レビュー] A Simple Proof that Toffoli and Hadamard are Quantum Universal

Dorit Aharonov|ArXiv.org|Jan 9, 2003

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 18被引用数 127

ひとこと要約

本稿は、ToffoliおよびHadamardゲートが量子計算の計算的普遍性を持つことを簡潔に証明する。Kitaevの普遍ゲートセットを用い、複素行列を実行列に変換するためのアシスタントキュービットを用いた実行列表現を用いて、制御位相ゲート $\Lambda(P(i))$ がToffoliおよびHadamardゲートのみでシミュレート可能であることを示すことで、著者らは任意の量子回路が多対数的オーバーヘッドで近似可能であることを確立し、$\{T,H\}$ の普遍性を確認した。

ABSTRACT

Recently Shi proved that Toffoli and Hadamard are universal for quantum computation. This is perhaps the simplest universal set of gates that one can hope for, conceptually; It shows that one only needs to add the Hadamard gate to make a 'classical' set of gates quantum universal. In this note we give a few lines proof of this fact relying on Kitaev's universal set of gates, and discuss the meaning of the result.

研究の動機と目的

• 量子計算における ToffoliおよびHadamardゲートセット $\{T,H\}$ の計算的普遍性を確立すること。
• Kitaevの $\{\Lambda(P(i)), H\}$ を具体的な普遍セットとして用い、簡潔で初等的な還元に基づく証明を提供すること。
• Hadamardゲートが古典的可逆計算（Toffoliを介して）を量子普遍性に高めるために必要な最小限の追加資源であるという概念的意義を明確にすること。
• 実行列のみから構成されるセット $\{T,H\}$ が、わずかで制御されたオーバーヘッドで量子計算の普遍性を達成できることを示すこと。

提案手法

• Kitaevの厳密に普遍なゲートセット $\{\Lambda(P(i)), H\}$ を普遍性の基準点として用いる。
• アシスタントキュービットを用いて複素ゲートを実ゲートに変換する実行列表現技術の適用。
• 恒等式 $XZ = XHXH$ を用いて、$\widetilde{\Lambda(P(i))} = T(1,2,3)H(3)T(1,2,3)H(3)$ を明示的に構成する。
• 元の回路のゲート数が $t$ である場合、$\{T,H\}$ を用いて最大 $4t$ 個のゲートと1つの追加キュービットで任意の量子回路をシミュレートする。
• Solovay-Kitaev定理を用いて、必要な精度 $\epsilon$ に対してオーバーヘッドが多対数的であることを正当化する。
• アシスタント状態と多対数的オーバーヘッドを許容する計算的普遍性の概念を、実用上の普遍性の十分条件として採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ToffoliおよびHadamardゲートセット $\{T,H\}$ は、わずかで制御可能なオーバーヘッドで、任意の量子計算をシミュレートできるか？
• RQ2 Hadamardゲートの追加が、古典的可逆計算（Toffoliを介して）を完全な量子普遍性に高めるのに十分か？
• RQ3 Kitaevのセットのような既知の普遍セットへの還元を用いて、$\{T,H\}$ の普遍性をどのように証明できるか？
• RQ4 実行列表現が、実行列のみからなるゲートセットにおいて普遍性を実現するために果たす役割は何か？
• RQ5 実行列シミュレーションのためのアシスタントキュービットの使用が、$\{T,H\}$ の誤り耐性量子計算への適用を妨げるか？

主な発見

• セット $\{T,H\}$ は計算的普遍性を持つ。これは、キュービット数、ゲート数、逆精度の多対数的オーバーヘッドで、厳密に普遍なセットからの任意の量子回路をシミュレート可能であることを意味する。
• 制御位相ゲート $\Lambda(P(i))$ は、恒等式 $XZ = XHXH$ を用いて、4つのToffoliおよびHadamardゲートで正確にシミュレート可能であり、Kitaevの普遍セットへの還元を可能にする。
• シミュレーションには1つの追加アシスタントキュービットと、Kitaevのセットの $t$ 個のゲートをシミュレートするための最大 $4t$ 個のゲートが必要であり、コンパイルの効率性が保証される。
• 実行列のみから構成されるにもかかわらず、$\{T,H\}$ は、アシスタントキュービットが複素ユニタリ発展の表現を可能にするため、量子計算の普遍性を達成可能である。
• この結果により、Hadamardゲートが古典的可逆計算の上に量子計算の普遍性を達成するために必要な最小限の量子資源であることが確認された。
• $\{T,H\}$ は誤り耐性量子計算にも適している。誤り訂正ゲート（Hadamardおよび古典的ゲート）は実行列であり、アシスタントキュービットを必要とせず、並列性を保つ。