[論文レビュー] A sm\"org {a}sbord of scalar-flat K\"ahler ALE surfaces

Michael T. Lock, Jeff Viaclovsky|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 38被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、複素反射のない任意の非巡回有限部分群 Γ⊂U(2) に対して、ℂ²/Γ の最小解消におけるスカラー曲率がゼロであるケーラー ALE 計量を構成し、正則な円作用と変形技術を用いて存在を証明する。主な結果として、SU(2) でない群を含むすべての such Γ に対してその計量が存在すること、および Γ⊂SU(2) である場合に限りそれらがハイパーケーラーであることが示される。

ABSTRACT

There are many known examples of scalar-flat K\\"ahler ALE surfaces, all of which have group at infinity either cyclic or contained in ${\ m{SU}}(2)$. The main result in this paper shows that for any non-cyclic finite subgroup $\\Gamma \\subset {\ m{U}}(2)$ containing no complex reflections, there exist scalar-flat K\\"ahler ALE metrics on the minimal resolution of $\\mathbb{C}^2 / \\Gamma$, for which $\\Gamma$ occurs as the group at infinity. Furthermore, we show that these metrics admit a holomorphic isometric circle action. It is also shown that there exist scalar-flat K\\"ahler ALE metrics with respect to some small deformations of complex structure of the minimal resolution. Lastly, we show the existence of extremal K\\"ahler metrics admitting holomorphic isometric circle actions in certain K\\"ahler classes on the complex analytic compactifications of the minimal resolutions.

研究の動機と目的

• 既知のスカラー曲率がゼロであるケーラー ALE 計量の存在が、巡回群および SU(2) 型群に限られていたのを、複素反射のないすべての非巡回有限部分群 Γ⊂U(2) にまで拡張すること。
• Γ を無限遠での群として持つ ℂ²/Γ の最小解消上でのその計量の存在を確立すること。
• その計量が正則な等長的円作用を備えていることにより、幾何と対称性を結びつけること。
• 最小解消の複素構造の小さな変形に対してもその計量が存在することを示すこと。
• 最小解消の複素解析的コンactification上に、正則な円作用を備えた極値ケーラー計量が存在することを証明すること。

提案手法

• 第5.1節のスカラー曲率ゼロケーラー接合定理を用い、多重量エグシュチ・ハンソン計量を商空間に接合することで計量を構成する。
• 自己双対な特異点付きオルビフォールドの接合に関する定理8.5を適用し、スカラー曲率ゼロの反自己双対 ALE 計量の共形的コンパクト化を接合する。
• 正のヤマベ不変量を持つコンパクト化の特異点で共形的 blown-up を施し、スカラー曲率ゼロの反自己双対 ALE 計量を生成する。
• 補題8.1で用いられるエータ不変量 η(S³/Γ) と b₂⁻(X̃) を用いてリッチ平坦性をテストし、Γ⊂SU(2) のときに限りハイパーケーラー構造が成り立つと結論づける。
• 例外的除けるを、自己交わりが −bΓ である中心の曲線に3本のヒルツブルーフ・ユングのストリングが接続された有理曲線の木として分析する。
• ブリースコーフの商特異点の分類と、Γ と解消グラフ ⟨−bΓ; (α₁,β₁); (α₂,β₂); (α₃,β₃)⟩ 間の対応関係に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素反射のないすべての非巡回有限部分群 Γ⊂U(2) に対して、スカラー曲率がゼロであるケーラー ALE 計量を構成できるか？
• RQ2 最小解消上のその計量は正則な等長的円作用を備えているか？
• RQ3 最小解消の複素構造の小さな変形に対してもその計量が存在するか？
• RQ4 最小解消の複素解析的コンパクト化上に、正則な円作用を備えた極値ケーラー計量が存在するか？
• RQ5 スカラー曲率がゼロであるケーラー ALE 計量が、いつ必然的にハイパーケーラーであるか？

主な発見

• 複素反射のない任意の非巡回有限部分群 Γ⊂U(2) に対して、Γ を無限遠での群として持つ ℂ²/Γ の最小解消上にスカラー曲率がゼロであるケーラー ALE 計量が存在する。
• その計量は正則な等長的円作用を備えており、解消上に対称性構造を提供する。
• 最小解消の複素構造の小さな変形に対してもスカラー曲率がゼロであるケーラー ALE 計量が存在し、その計量のモジュライ空間が拡張される。
• 特定のケーラー類において、最小解消の複素解析的コンパクト化上に正則な等長的円作用を備えた極値ケーラー計量が存在する。
• 計量は Γ⊂SU(2) である場合に限りハイパーケーラーであり、補題8.1における不等式と η(S³/Γ) および b₂⁻(X̃) の組み合わせによって決定される。
• 構成に必要な唯一の構成ブロックは多重量エグシュチ・ハンソン計量であり、それらが接合プロセスにおいて基盤的役割を果たしていることを確認する。