[論文レビュー] A solution of 2D QCD at Finite $N$ using a conformal basis

Emanuel Katz, Gustavo Marques Tavares+1 more|arXiv (Cornell University)|May 26, 2014

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions参考文献 6被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、2次元QCDにおける基礎フェルミオンを含む有限$N$における解法を、共形基底を用いて提示する。有効な共形支配が小さな$N$でも成り立つことを示し、安定な単粒子状態の波動関数および一部布関数に対して、$N=3$に対しても正確な解析的表現が可能であることを示している。この手法は高次元演算子の抑制により低エネルギー束縛状態を効率的に分離でき、コロンベアの定理により質量ゼロのスカラー状態が完全に分離することが分かっている。

ABSTRACT

We study 2D QCD with a fundamental fermion at small-$N$ using the recently proposed conformal basis approach. We find that effective conformal dominance still holds, namely that the spectrum converges efficiently, with high scaling-dimension operators decoupling exponentially quickly from the stable single-particle states. Consequently, for these stable bound states, accurate, analytic expressions for wavefunctions and parton distribution functions can be given, even for $N=3$.

研究の動機と目的

• 従来の大$N$において有効であった共形基底アプローチが、小さな$N$における2次元QCDの解法に対しても効率的であるかを調査すること。
• 有限$N$における2次元QCD（基礎フェルミオンを含む）において、高次元演算子の指数的分離（有効な共形支配）が成り立つかを検証すること。
• $N=3$における安定な単粒子状態の波動関数および部分布関数の正確な解析的表現を導出すること。
• 質量ゼロのスカラー状態と結合した多粒子状態（質量のあるメソンを含む）を特定・特徴づけ、コロンベアの定理により相互作用が存在しない状況での挙動を明らかにすること。

提案手法

• フェルミオン場$\psi$からなる共形準一次演算子の基底を構築し、最大スケーリング次元$\Delta_{\text{max}}$で切断する。
• 質量演算子$M^2 = 2P^+P^-$の行列要素を、フーリエ変換された準一次演算子$\tilde{\mathcal{O}}_\Delta(p)$を用いて計算する。
• 光線座標における$\psi$のモード展開を用い、運動量および質量演算子を$SU(N)$対称性を持つ生成・消滅演算子の形に表現する。
• 多粒子状態を、$\partial\phi_i$から構成されるボソン的準一次演算子を用いてモデル化し、キリング方程式を解いて対称的かつ共形的に変換する状態を構成する。
• ボソン的演算子の微分方程式の解をパラメータリングするためにジャコビ多項式を適用し、共形不変性および同一粒子交換に対する正しい対称性を保証する。
• 高$\Delta_{\text{max}}$における期待される連続状態密度と照合して離散スペクトルを検証し、$1/M^2$スケーリングされた状態密度へのフィットを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有効な共形支配は、特に$N=3$における有限$N$の2次元QCDでも成立するか？
• RQ2 共形基底を用いて、小さな$N$における安定メソンの波動関数および部分布関数の解析的表現が得られるか？
• RQ3 コロンベアの定理により相互作用が存在しない状況下で、質量のあるメソンと質量ゼロのスカラー状態で構成される多粒子状態は、有限$N$においてどのように振る舞うか？
• RQ4 高$\Delta_{\text{max}}$における2体状態の状態密度について、共形基底が連続状態密度をどの程度正確に再現できるか？

主な発見

• 有効な共形支配が有限$N$でも成立し、高次元演算子が低エネルギースペクトルから指数的に速く分離することが分かった。
• $N=3$において、安定な単粒子状態の波動関数および部分布関数の正確な解析的表現が、小さな$N$に対しても導出された。
• $|B_1\rangle$の2体状態閾値未満の多粒子状態スペクトルは、1つの質量のあるメソンと任意の数の分離した質量ゼロの$|B_0\rangle$モードから構成され、コロンベアの定理により相互作用が存在しない。
• 共形基底から構築された離散スペクトルは、$\Delta_{\text{max}}=200$で期待される連続状態密度に収束し、ビン単位のずれは理論的予測の20%以内に収まっている。
• $|B_1\rangle$および$|B_0\rangle$の2体状態密度は、期待される$\rho(M^2) \propto 1/(M^2 - M^2_{B_1})$の形と一致しており、高カットオフにおける連続状態の回復が確認された。
• ボソン的準一次演算子は、運動量におけるジャコビ多項式の積として構成され、共形的不変性および同一粒子に対する正しい対称性を保証している。