[論文レビュー] A space-time Trefftz discontinuous Galerkin method for the linear Schr\"odinger equation

Sergio Gómez, Andrea Moiola|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2021

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 24被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、区分的定数ポテンシャルを伴う線形シュレーディンガー方程式に対して、局所的に方程式を満たす非多項式複素指数基底関数を用いた、時空Trefftz不連続ガレルキン（DG）法を提案する。この手法は、1次元および2次元問題において、スケルトンノルムで最適なh収束率を達成し、多項式DG法と比較して自由度を著しく削減しながら、安定性と適切に定義された問題性を維持する。

ABSTRACT

A space-time Trefftz discontinuous Galerkin method for the Schr\"odinger equation with piecewise-constant potential is proposed and analyzed. Following the spirit of Trefftz methods, trial and test spaces are spanned by non-polynomial complex wave functions that satisfy the Schro\"odinger equation locally on each element of the space-time mesh. This allows for a significant reduction in the number of degrees of freedom in comparison with full polynomial spaces. We prove well-posedness and stability of the method, and, for the one- and two- dimensional cases, optimal, high-order, h-convergence error estimates in a skeleton norm. Some numerical experiments validate the theoretical results presented.

研究の動機と目的

• 時間依存の線形シュレーディンガー方程式に、区分的定数ポテンシャルを伴う新しい時空Trefftz-DG法を開発すること。
• 局所的に方程式を満たす非多項式基底関数を用いることで、自由度を削減すること。
• 1次元および2次元において、この手法の適切に定義された問題性、安定性、最適なh収束誤差推定を確立すること。
• 正方形井戸型およびガウス型ポテンシャルを伴う問題における数値実験を通じて、理論的結果の妥当性を検証すること。
• 基底関数のパrameter調整によるp収束の可能性および効率性の向上を検討すること。

提案手法

• ポテンシャル不連続性に沿ったポリトープ要素を用いた時空メッシュを採用し、時間方向にはアップウィンド数値フラックス、空間方向には中央フラックスを用いた不連続ガレルキン式の弱形式を適用する。
• 試行関数および検証関数は、シュレーディンガー方程式を局所的に満たす複素指数関数から構成され、Trefftz空間を形成する。
• 離散Trefftz空間は、正確な解のテイラー多項式を次数pまで再現できるように設計されており、最適な近似性質を保証する。
• 誤差解析にはスケルトンノルムが用いられ、Trefftz関数の構造を活用することで、逆推定の必要性を回避する。
• 数値フラックスは平均値およびジャンプを用いて定義され、複素数のペナルティ項により安定性と整合性が確保される。
• 解析は、離散Trefftz空間と正確な解のテイラー多項式の局所近似を結びつける重要な条件に依拠している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時空Trefftz-DG法は、区分的定数ポテンシャルを伴う線形シュレーディンガー方程式に対して、最適なh収束を達成できるか？
• RQ2 非多項式Trefftz基底関数の使用により、標準的な多項式DG法と比較して自由度がどのように削減されるか？
• RQ3 離散Trefftz空間に課されるどのような条件が、正確な解の最適な局所近似を保証するか？
• RQ4 この手法はp収束率を達成できるか？また、多項式DGスキームと比較して効率性はどのように異なるか？
• RQ5 精度は、波数や方向などの基底関数パrameterの選択にどれほど敏感か？

主な発見

• 定理4.12で示されるように、1次元および2次元問題において、メッシュスケルトンノルムで最適なh収束率h^pを達成する。
• (1+1)次元の正方形井戸問題では、p=1で約2.07、p=2で4.09、p=3で6.49の収束率を示し、最適なh収束が確認された。
• (2+1)次元のガウス型問題では、DGノルムでO(h^p)、最終時刻におけるL2ノルムでO(h^{p+1})の収束を達成し、理論的予測と一致した。
• p収束解析では、誤差がO(e^{-b\sqrt{\#DOF}})の速度で減少することが示され、多項式DG法の典型的なO(e^{-b\sqrt[3]{\#DOF}})と比較して著しく速い収束を示した。
• 数値実験により、基底関数の波数を{−k*, 0, k*}に調整することで最適な収束率が回復され、適切でないパrameter選択では性能が劣化することが示された。
• この手法は適切に定義されており、安定性を有しており、逆推定に依存しない誤差境界を持つ。これは、標準的DG法とは対照的な重要な利点である。