[論文レビュー] A sparse ADMM-based solver for linear MPC subject to terminal quadratic constraint

Pablo Krupa, Rim Jaouani+2 more|arXiv (Cornell University)|May 18, 2021

Advanced Control Systems Optimization参考文献 46被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、終端楕円体制約を用いた線形モデル予測制御（MPC）のスパースADMMベースのソルバを提案する。従来の多面体不変集合に代えて用いることで、制約数を削減し、計算効率を向上させる。このソルバは組み込みシステム向けに最適化されており、低メモリ使用量と外部ライブラリ依存なしを実現し、多変数プロセスのシミュレーションにおいてリアルタイム性能を示した。

ABSTRACT

Model Predictive Control (MPC) typically includes a terminal constraint to guarantee stability of the closed-loop system under nominal conditions. In linear MPC this constraint is generally taken on a polyhedral set, leading to a quadratic optimization problem. However, the use of an ellipsoidal terminal constraint may be desirable, leading to an optimization problem with a quadratic constraint. In this case, the optimization problem can be solved using Second Order Cone (SOC) programming solvers, since the quadratic constraint can be posed as a SOC constraint, at the expense of adding additional slack variables and possibly compromising the simple structure of the solver ingredients. In this paper we present a sparse solver for linear MPC subject to a terminal ellipsoidal constraint based on the alternating direction method of multipliers algorithm in which we directly deal with the quadratic constraints without having to resort to the use of a SOC constraint nor the inclusion of additional decision variables. The solver is suitable for its use in embedded systems, since it is sparse, has a small memory footprint and requires no external libraries. We compare its performance against other approaches from the literature.

研究の動機と目的

• 線形MPCにおける多面体終端不変集合を楕円体集合に置き換えることで、制約数を削減し、計算を簡略化すること。
• 楕円体終端制約から生じる二次制約付き二次計画問題（QCQP）を解くための特殊化された、組み込みに適したソルバを開発すること。
• 組み込みリアルタイム制御システムへのデプロイに適した、低メモリフットプリントと外部ライブラリ依存なしを確保すること。
• シミュレートされた多変数プロセス上で、組み込み環境に実装した本ソルバの性能を、他の手法と比較して検証すること。

提案手法

• 楕円体 $\mathcal{E}(P,c,r)$ で定義される終端状態制約を用いた線形MPC問題を定式化し、標準的な多面体不変集合に代わるものとする。
• 得られるスパースで構造化されたQCQPを効率的に解くために、交替方向乗数法（ADMM）を適用する。
• ADMMの部分問題におけるブロック対角構造を活用して、問題のスパarsityを活かし、メモリと計算量を最小限に抑える。
• シュール補行列とS手続きを用いて、楕円体終端集合を計算するための線形行列不等式（LMI）条件を導出する。
• 外部ライブラリを一切使用しないネイティブデータ構造に依存するCベースの組み込み環境でソルバを実装する。
• ADMMにおける変数分割と双対昇圧を用いて、予測ステップごとの取り扱い可能な部分問題に最適化問題を分解する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多面体終端制約を楕円体制約に置き換えることで、線形MPCにおける制約数を顕著に削減できるか、かつ安定性が維持されるか？
• RQ2 終端制約が多面体ではなく二次的である場合に、ADMMベースのソルバは組み込みMPCに適しているか？
• RQ3 スパースで低メモリのADMM実装は、外部ライブラリなしで多変数プロセス上でリアルタイム性能を達成できるか？
• RQ4 計算時間とメモリ使用量の観点から、提案されたソルバは標準的なQPソルバと比べてどのように性能を発揮するか？

主な発見

• 提案されたADMMベースのソルバは、予測ホライズン20ステップのシミュレートされた多変数プロセス上でリアルタイム性能を達成した。
• 楕円体終端制約は、特に多くの状態変数および入力制約を有する系において、多面体集合と比較して制約数を削減した。
• ソルバは最小限のメモリを要し、外部ライブラリに依存しないため、組み込みデプロイに適している。
• 複数のテストケースにおいて一貫した収束性と安定性を示し、リアルタイム制御に適した計算時間であった。
• LMIに基づく楕円体不変集合の計算手順は、平均的なサイズのシステムに対して効果的でスケーラブルである。