[論文レビュー] A special class of scattered subspaces

Bence Csajbók, Giuseppe Marino+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2019

Coding theory and cryptography参考文献 17被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、$r$次元の$\rF_{q^n}$-ベクトル空間における$h$-散らばり部分空間を導入し、研究する。$h > 1$に対して、その$\rF_q$-次元の上界が$rn/(h+1)$であることを証明し、この上界に達する例を構成する。双対性を確立し、超平面との交わりを分析し、関連する線形集合の同値性を調査する。

ABSTRACT

Let $V$ be an $r$-dimensional $\mathbb{F}_{q^n}$-vector space. We call an $\mathbb{F}_q$-subspace $U$ of $V$ $h$-scattered if $U$ meets the $h$-dimensional $\mathbb{F}_{q^n}$-subspaces of $V$ in $\mathbb{F}_q$-subspaces of dimension at most $h$. For $h=1$ and $\dim_q U=rn/2$ these subspaces were first studied by Blokhuis and Lavrauw in 2000 and are called maximum scattered. They have been investigated intensively because of their relations with two-weight codes and strongly regular graphs. In the recent years maximum scattered and $n$-dimensional $(r-1)$-scattered $\mathbb{F}_q$-subspaces have been linked also to MRD-codes with a maximum idealiser. In this paper we prove the upper bound $rn/(h+1)$ for the dimension of $h$-scattered subspaces, $h>1$, and construct examples with this dimension. We study their intersection numbers with hyperplanes, introduce a duality relation among them, and study the equivalence problem of the corresponding linear sets.

研究の動機と目的

• 最大散らばり部分空間（以前は$h=1$に対して研究済み）の概念を$h > 1$に対する$h$-散らばり部分空間へ一般化すること。
• $r$次元の$\rF_{q^n}$-ベクトル空間における$h$-散らばり部分空間の最大$\rF_q$-次元を特定すること。
• $h$-散らばり部分空間を、理論的な次元上界に達するように構成すること。
• これらの部分空間と超平面の交わりの数を分析すること。
• $h$-散らばり部分空間同士の双対性関係を確立し、関連する線形集合の同値問題を調査すること。

提案手法

• $h$-次元の$\rF_{q^n}$-部分空間と交わる$\rF_q$-部分空間の次元が$h$以下であるような$\rF_q$-部分空間として$h$-散らばり部分空間を定義する。
• 有限体上の組合せ論的および幾何的議論を用いて、このような部分空間の$\rF_q$-次元に対する上界$rn/(h+1)$を証明する。
• 代数的および線形代数的技法を用いて、上界$rn/(h+1)$に達する$h$-散らばり部分空間の明示的構成を行う。
• これらの部分空間と超平面の交わりの数を分析し、その幾何的分布を理解する。
• 部分空間の構造的性質を保つ双対性関係を$h$-散らばり部分空間間に導入する。
• $h$-散らばり部分空間に関連する線形集合の一般線型群による作用における同値性を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $h > 1$に対して、$r$次元の$\rF_{q^n}$-ベクトル空間における$h$-散らばり部分空間の最大$\rF_q$-次元は何か？
• RQ2 $h$-散らばり部分空間が理論的な次元上界に達するように、明示的に構成可能か？
• RQ3 $h$-散らばり部分空間は超平面とどのように交わるのか？ 交わりのサイズとして可能な値は何か？
• RQ4 $h$-散らばり部分空間間に、構造的および幾何的性質を保つ双対性関係は存在するか？
• RQ5 $h$-散らばり部分空間に関連する線形集合が、一般線型群の作用において同値となる条件は何か？

主な発見

• 本稿は、$h > 1$に対して$h$-散らばり部分空間の$\rF_q$-次元に対する上界$rn/(h+1)$を確立し、$h=1$のときの既知の上界を一般化する。
• 次元上界$rn/(h+1)$に達する$h$-散らばり部分空間の明示的構成が提供され、上界のタイトさが確認される。
• $h$-散らばり部分空間と超平面の交わりの数が分析され、その分布にかかる構造的制約が明らかになる。
• $h$-散らばり部分空間間に双対性関係が導入され、重要な不変量を保ち、双対族の構成を可能にする。
• $h$-散らばり部分空間に関連する線形集合の同値問題が調査され、同値性が基礎となる群作用および部分空間構造に依存することが示される。