[論文レビュー] A special point problem of André-Pink-Zannier in the universal family of abelian varieties

Ziyang Gao|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、 principally polarized なアーベル多様体の普遍族において、アンドレ＝ピンク＝ザニエ予想の特別な場合を証明し、部分多様体が一般化されたヘッケ軌道とZariski稠密に交わるならば、それが弱い特殊部分多様体であることを確立する。モジュライ的幾何とディオファントス的推定を用いて、ねずみ算点と曲線の場合はこの予想を証明し、ザルヒンのテクニックとファイバー積構成を用いて非ねずみ算点の場合へ拡張する。

ABSTRACT

The André-Pink-Zannier conjecture concerns the intersection of subvarieties and the generalized Hecke orbit of a given point in mixed Shimura varieties. It is part of the Zilber-Pink conjecture. In this paper we focus on the universal family of principally polarized abelian varieties. We explain the moduli interpretation of the conjecture in this case and prove several different cases for this conjecture: its overlap with the André-Oort conjecture; when the subvariety is contained in an abelian scheme over a curve and the point is a torsion point on its fiber; when the subvariety is a curve.

研究の動機と目的

• 普遍族における principally polarized なアーベル多様体のアンドレ＝ピンク＝ザニエ予想を、特定のケースについて証明すること。
• 等長的アーベル層とねずみ算点・定数セクションを用いた弱い特殊部分多様体の幾何的特徴づけを確立すること。
• アンドレ＝オーレとアンドレ＝ピンク＝ザニエ予想を、ねずみ算点の場合に重なることを証明することで橋渡しすること。
• モジュライ的技法を用いて、純粋なシュイマ多様体から、クーガ型の混合シュイマ多様体へ結果を拡張すること。
• ねずみ算点および非ねずみ算点の場合の一般化されたヘッケ軌道に対するディオファントス的推定を提供すること。

提案手法

• アーベル多様体の普遍族のモジュライ的解釈を用いて、一般化されたヘッケ軌道を、極化同種異性的軌道の除法点として定義する。
• 弱い特殊部分多様体の幾何的特徴づけを適用する：全地図的基底と、ねずみ算点および定数セクションによるアーベル部分層の平行移動。
• ねずみ算点の場合のディオファントス的推定を、除法群とアーベル多様体内のねずみ算点の構造を用いて行う。
• ザルヒンのテクニックを用いて非ねずみ算点の場合をねずみ算点の場合に還元する。アーベル多様体を高次元に埋め込み、同種異性を極化可能にする。
• 基底モジュライ空間上のファイバー積を構成し、部分多様体を上げて、ヘッケ軌道写像下でのZariski閉包を分析する。
• 適切な準同型とZariski閉包が像と可換であることを用いて、積空間における稠密性から弱い特殊構造を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベル多様体の普遍族の部分多様体が、一般化されたヘッケ軌道とZariski稠密に交わる場合、どのような条件下で弱い特殊部分多様体となるか？
• RQ2 混合シュイマ設定における、ファイバー内のねずみ算点は、一般化されたヘッケ軌道と弱い特殊部分多様体とどのように関係するか？
• RQ3 アンドレ＝オーレ予想とアンドレ＝ピンク＝ザニエ予想の重なりは、アーベル多様体の普遍族において証明可能か？
• RQ4 ザルヒンのテクニックは、ディオファントス的応用において、非極化同種異性的軌道を極化可能なものに還元するために果たす役割は何か？
• RQ5 アーベル多様体内の除法群の構造は、ヘッケ軌道の稠密性を推定するためにどのように利用できるか？

主な発見

• 基点がそのファイバー上のねずみ算点である場合、曲線上のアーベル層に含まれる部分多様体については、予想が成り立つ。
• アーベル多様体の普遍族における曲線について、予想が証明され、Pila-Zannier枠組みにおける既存の結果が拡張された。
• アンドレ＝オーレ予想とアンドレ＝ピンク＝ザニエ予想の重なりが確立された：固定された極化同種異性的軌道から生じるCM点のZariski稠密な集合を含む部分多様体は、弱い特殊である。
• 非ねずみ算点の場合、ザルヒンのテクニックを用いてねずみ算点の場合に還元され、同種異性が極化可能になる高次元の普遍族に問題を埋め込む。
• 点の一般化されたヘッケ軌道が、その基点の極化同種異性的軌道の除法点から成ることを示し、モジュライ的解釈を与えた。
• 弱い特殊部分多様体のヘッケ軌道写像による逆像のZariski閉包が、積空間において弱い特殊であることが示され、元の部分多様体が弱い特殊であることが示された。