[論文レビュー] A specialisation of the Bump-Friedberg $L$-function

Nadir Matringe|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、線 $(s + \alpha, 2s)$ 沿いのBump-Friedberg $L$-関数の1パラメータ特異化を研究し、その解析的性質を確立するとともに、極とねじれたグローバル周期の存在を関連付ける。$k = \dim \pi$ が偶数の場合、$L^{\text{lin},S}(s,\pi,\alpha)$ が $s = 1/2$ に極を持つのは $\pi$ が $\chi$-周期をもつときであり、JacquetとFriedbergによる$L$-関数の非零性に関する結果の新たな証明を提供する。

ABSTRACT

We study the restriction of the Bump-Friedberg integrals to affine lines $\{(s+α,2s),s\in\C\}$. It has a simple theory, very close to that of the Asai $L$-function. It is an integral representation of the product $L(s+α,π)L(2s,Λ^2,π)$ which we denote by $L^{lin}(s,π,α)$ for this abstract, when $π$ is a cuspidal automorphic representation of $GL(k,A)$ for $A$ the adeles of a number field. When $k$ is even, we show that for a cuspidal automorphic representation $π$, the partial $L$-function $L^{lin,S}(s,π,α)$ has a pole at 1/2, if and only if $π$ admits a (twisted) global period, this gives a more direct proof of a theorem of Jacquet and Friedberg, asserting that $π$ has a twisted global period if and only if $L(α+1/2,π) eq 0$ and $L(1,Λ^2,π)=\infty$. When $k$ is odd, the partial $L$-function is holmorphic in a neighbourhood of $Re(s)\geq 1/2$ when $Re(α)$ is $\geq 0$.

研究の動機と目的

• アフィン直線 $\{(s+\alpha, 2s) \mid s \in \mathbb{C}\}$ に制限されたBump-Friedberg $L$-関数を1変数複素関数として分析すること。
• 局所およびグローバルな設定において、積 $L(s+\alpha,\pi)L(2s,\Lambda^2,\pi)$ のRankin-Selberg積分表現を確立すること、これを $L^{\text{lin}}(s,\pi,\alpha)$ と表記する。
• $L^{\text{lin},S}(s,\pi,\alpha)$ の極を $\pi$ のねじれたグローバル周期の存在に関して特徴づけること。
• Jacquet-Friedberg定理（$L(\alpha+1/2,\pi)$ と $L(1,\Lambda^2,\pi)$ の非零性がねじれたグローバル周期の存在と関連すること）の新たな直接的証明を提供すること。

提案手法

• cusp形式 $\phi \in \pi$、シュワーツ関数 $\Phi$、$GL(m) \times GL(m)$ 上のキャラクター $\chi$ を含むRankin-Selberg積分を、ミラビック部分群に制限して用いる。
• 逐次的部分フーリエ展開（命題4.3）を適用し、グローバル積分 $I(s,\phi,\Phi)$ をWhittaker関数と関連づけ、Euler因子分解を可能にする。
• ミラビック部分群と誘導データ $f_{\chi,\Phi}(s,h)$ を用いて、$\operatorname{Re}(s) > 1/2$ で絶対収束するEisenstein級数 $E(s,h,\chi,\Phi)$ を構成する。
• 関数等式 $E(1/2 - s, {}^t h^{-1}, \chi^{-1}\delta^{1/2}, \widehat{\Phi}) = E(s,h,\chi,\Phi)$ を導出し、解析的性質の分析に不可欠な役割を果たす。
• 非アーチメデス型およびアーチメデス型の両方の局所積分の非零性結果に依拠し、$L$-関数の構造を確立する。
• 関数等式と、(BF)の命題2.1による留数の消失を用いて、$I(s,\phi,\chi,\Phi)$ が整関数であることを示し、奇数の場合の $L^{\text{lin},S}(s,\pi,\alpha)$ の正則性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分 $L$-関数 $L^{\text{lin},S}(s,\pi,\alpha)$ が $s = 1/2$ に極を持つのはいつか？
• RQ2 $\pi$ のねじれたグローバル周期の存在は、$L^{\text{lin},S}(s,\pi,\alpha)$ の解析的性質とどのように関係するか？
• RQ3 パラメータ $\alpha$ はBump-Friedberg $L$-関数の特異化において果たす役割は何か？
• RQ4 Rankin-Selberg積分表現 $L(s+\alpha,\pi)L(2s,\Lambda^2,\pi)$ は、Jacquet-Friedberg定理の再証明に用いることができるか？
• RQ5 制限された $L$-関数の理論は、Asai $L$-関数の理論とどのように比較できるか？

主な発見

• $k = \dim \pi$ が偶数の場合、部分 $L$-関数 $L^{\text{lin},S}(s,\pi,\alpha)$ が $s = 1/2$ に極を持つのは $\pi$ がねじれたグローバル周期をもつときである。
• $k$ が奇数で $\operatorname{Re}(\alpha) \geq 0$ の場合、部分 $L$-関数 $L^{\text{lin},S}(s,\pi,\alpha)$ は $\operatorname{Re}(s) \geq 1/2$ の近傍で正則である。
• グローバル積分 $I(s,\phi,\chi,\Phi)$ は整関数であり、その関数等式は $I(1/2 - s, \tilde{\phi}, \chi^{-1}\delta^{1/2}, \widehat{\Phi}) = I(s,\phi,\chi,\Phi)$ である。
• $I(s,\phi,\chi,\Phi)$ の $s = 1/2$ における留数は、周期積分の消失により消えるため、奇数の場合には極が存在しない。
• 局所 $L$-関数 $L^{\text{lin}}(s,\pi,\alpha)$ は非アーチメデス型およびアーチメデス型の積分によって定義され、$\operatorname{Re}(s)$ が十分に大きい範囲で収束性と非零性が確立されている。
• 本稿はJacquet-Friedberg定理の新たな証明を提供する：$\pi$ がねじれたグローバル周期をもつのは、$L(\alpha + 1/2, \pi) \neq 0$ かつ $L(1, \Lambda^2, \pi) = \infty$ のときである。