[論文レビュー] A spectral gap for transer operators of piecewise expanding maps

Damien Thomine|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Sobolev空間と有界 variation 関数を用いて、区分的拡張写像の転送作用素に対するスペクトルギャップを確立し、指数的混合率を示す有限個の混合物理的測度の存在を証明する。Sobolevノルムと補間理論に基づく頑健な枠組みを用いることで、反復とHennionの定理を用いて本質的スペクトル半径の鋭い推定値を導出し、Lasota-YorkeおよびCowieson型の結果を一般化する。

ABSTRACT

We provide a simplified proof of the existence, under some assumptions, of a spectral gap for the Perron-Frobenius operator of piecewise uniformly expanding maps on Riemannian manifolds when acting on some Sobolev spaces. Its consequences include, among others, the existence of invariant physical measures, and an exponential decay of correlations for suitable observables. These features are then adapted to different function spaces (functions with bounded variation or bounded oscillation), so as to give a new insight of - and generalize - earlier results.

研究の動機と目的

• 最小限の正則性仮定の下で、区分的拡張写像の転送作用素に対するスペクトルギャップを確立すること。
• Sobolev空間や有界 variation 空間といった標準的な関数空間を用いて、Lasota-YorkeおよびCowiesonの物理的測度に関する結果を一般化すること。
• 特段の関数空間を導入するのではなく、補間理論とフーリエ解析に依拠することで、スペクトルギャップ結果の証明を簡略化・統一すること。
• C^1+Lip 写像と有界 variation 関数の極限ケースにこの枠組みを拡張し、Cowiesonの定理を強化すること。

提案手法

• フーリエ変換を用いたSobolev空間と補間理論を用いて、不連続性を許容しつつも正則性を保証する。
• C^1+α 微分同相写像との合成に対する基本的な不等式と局所化技術を用いて、作用素ノルムを制御する。
• Hennionの定理を用いて本質的スペクトル半径を評価し、転送作用素を反復することでスペクトル推定値を精緻化する。
• Perron-Frobenius作用素の本質的スペクトル半径を抑え込むLasota-Yorke型不等式をSobolev空間で導出する。
• 錐法とコンパクト性の議論を適応し、物理的測度の存在および混合性を証明する。
• 写像の反復を用いてスペクトル半径の推定値を改善し、式 (6.6) の極限表現を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特段の関数空間を用いるのではなく、標準的なSobolev空間を用いて、区分的拡張写像の転送作用素に対するスペクトルギャップを確立できるか？
• RQ2 拡張率と不連続性の複雑さを用いて、Perron-Frobenius作用素の本質的スペクトル半径の鋭い推定値は何か？
• RQ3 写像が区分的 C^1+α で有界 variation 密度を持つ場合、この方法により物理的測度の指数的混合性が得られるか？
• RQ4 この枠組みは、C^1+Lip の場合に有界 variation 関数へ拡張可能であり、Cowiesonの定理を改善できるか？
• RQ5 スペクトルギャップは、不連続性の組み合わせ的複雑さと拡張率にどのように依存するか？

主な発見

• 各反復 n に対して、拡張率 λ_n と不連続性の複雑さ D_n^b を含む式で、転送作用素の本質的スペクトル半径が抑えられる。その上限は (λ_n^{-α} + 4γ_d D_n^b / ((λ_n - 1)γ_{d-1}))^{1/n} である。
• n → ∞ の極限において、この上限の極限は ρ_ess ≤ sup{ lim (λ_n^{-1/n} (D_n^b)^{1/n}), lim (λ_n^{-α/n}) } となり、指数的混合性が保証される。
• 区分的 C^1+α で一様に拡張する写像に対して、Perron-Frobenius作用素はSobolev空間上でスペクトルギャップを持つ。これは、これらの空間に密度を持つ有限個の混合物理的測度の存在を示唆する。
• C^1+Lip の場合、この方法によりCowiesonの定理のより強い形が得られ、有界 variation 密度を持つ有限個の物理的測度の存在が証明される。
• この枠組みは頑健であり、V_α（Saussolの空間）などの他の関数空間へも適応可能であり、Sobolev空間やBV空間を超える広範な適用可能性を示唆する。
• 反復とHennionの定理の使用により、Saussolの定理における初期の上限よりも鋭いスペクトル半径推定値が得られ、収束速度が向上する。