[論文レビュー] A spectral gap theorem in simple Lie groups

Yves Benoist, Nicolas de Saxcé|arXiv (Cornell University)|May 8, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、コンパクトな単純なリー群における代数的要素によって生成される稠密な部分群について、スペクトルギャップ定理を確立する。測度がほとんどディオファントス的であるときかつそのときに限り、その測度はスペクトルギャップを持つことを証明する。局所体上の確率的行列積と有効なネーターの定理の技法を用いて、著者たちはブルアインとガムバルドのSU(2)に関する結果を、任意のコンパクトな単純なリー群へ一般化し、ディオファントス的性質によるスペクトルギャップの鋭い特徴付けを提供する。

ABSTRACT

We establish the spectral gap property for dense subgroups generated by algebraic elements in any compact simple Lie group, generalizing earlier results of Bourgain and Gamburd for unitary groups.

研究の動機と目的

• コンパクトな単純なリー群上のボレル確率測度のスペクトルギャップ基準を確立すること。
• ブルアインとガムバルドのSU(2)に関するスペクトルギャップ結果を、任意のコンパクトな単純なリー群へ一般化すること。
• 測度がスペクトルギャップを持つことと、それがほとんどディオファントス的であることの同値性を証明すること。これにより、スペクトル的性質とディオファントス近似を結びつける。
• 局所体上の確率的行列積の理論を用いて、代数的要素に台を持つ測度の挙動を分析すること。
• スペクトルギャップと、真の閉部分群の近傍における測度質量の減衰との間の定量的関係を確立すること。

提案手法

• L^2_0(G) 上の平均作用素のスペクトル半径を用いてスペクトルギャップを定義し、それが1未満であることを示す。
• 「ほとんどディオファントス的」という測度の概念を導入し、真の閉部分群 H に対して ν^{*n}(H^{(e^{-C_1n})}) の減衰を定量的に評価する。
• [14] の離散化された積定理とブルアイン＝ガムバルドの手法を用いて、スペクトルギャップとディオファントス的性質を関連付ける。
• 有効なネーターの定理を適用し、多項式の系に共通の零点が存在しない場合、係数の大きさに関する制約から矛盾が生じることを示す。
• リー代数の外積冪への群元の作用を符号化する多項式写像 P_{I_0,g} を構成し、その係数を数体にとる。
• 代数的要素の Ad g の係数が生成する数体の整数環を用いて、これらの多項式の大きさを評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトな単純なリー群に倣う確率測度が、代数的成分をもつ場合、常にスペクトルギャップを持つのか？
• RQ2 このような測度について、スペクトルギャップ性質とほとんどディオファントス的条件が同値であるか？
• RQ3 ディオファントス近似を用いて、すべてのコンパクトな単純なリー群にわたるスペクトルギャップを一様に特徴付けられるか？
• RQ4 代数的測度について、真の閉部分群の近傍における測度質量の定量的減衰率は何か？
• RQ5 局所体上の確率的行列積の理論は、代数的測度のスペクトルギャップを証明するためにどのように役立つか？

主な発見

• コンパクトな単純なリー群 G 上のボレル確率測度 μ は、μ がほとんどディオファントス的であることと、かつそのときに限り、スペクトルギャップを持つ。
• 任意のコンパクトな単純なリー群 G に対して、μ が適切で、Ad g の係数が代数的である要素に台を持つならば、μ はほとんどディオファントス的であり、したがってスペクトルギャップを持つ。
• スペクトルギャップはディオファントス指数によって定量的に制御され、ある c_2 > 0 に対して μ^{*n}(H^{(e^{-C_1n})}) ≤ e^{-c_2n} が成り立つ。
• 証明は、ネーターの定理における有効な境界に依拠しており、多項式の系に共通の零点が存在しない場合、有界な大きさの非ゼロ代数的整数が存在しなければならないことを示す。
• 多項式 P_{I_0,g} の大きさは、\|q^n P_{I_0,g}\| ≤ q^{2n} で制御され、ここで q は生成集合にのみ依存する。
• 証明における矛盾は、C_1 を十分に大きくとることで、q^{-Mn} ≤ C q^{Cn} e^{-C_1n} が成立しなくなるように選ぶことで生じ、これにより共通の零点が存在しなければならないことが示される。