[論文レビュー] Transience of algebraic varieties in linear groups and application to generic Zariski density

Richard Aoun|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、線型群における非初等的確率ウォークが、適切な代数的部分多様体から指数的速さで脱出することを確立している。特に $SL_2(\mathbb{R})$ および $\mathbb{R}$ 上の単純で分かれている代数的群に対して、確率論的手段、特に確率的行列積とKingmanの部分加法的エルゴード定理に基づいて、このようなウォークがほとんど確実に任意の固定された適切な代数的部分多様体から脱出することを証明し、Zariski稠密な部分群上で独立に生成される確率的部分群の一般性に関するZariski稠密性の結果を得ている。

ABSTRACT

We study the transience of algebraic varieties in linear groups. In particular, we show that a "non elementary" random walk in SL_2(R) escapes exponentially fast from every proper algebraic subvariety. We also treat the case where the random walk is on the real points of a semi-simple split algebraic group and show such a result for a wide family of random walks. As an application, we prove that generic subgroups (in some sense) of linear groups are Zariski dense.

研究の動機と目的

• 線型群における非初等的確率ウォークが代数的部分多様体に与える非再帰性を調査すること。
• Kestenの帰納確率の指数的減衰結果を、適切な代数的部分多様体からの脱出に拡張すること。
• 単純代数的群における一般性のあるZariski稠密性のための確率的基準を確立すること。
• 算術的スクリーニング技術に依存しない、算術的性質や有限生成性に依存しない、代数的構造の研究における非算術的確率的代替手法を提供すること。

提案手法

• Weylチャネル内にリャプノフ・ベクトル $Liap(\mu)$ を定義するために、確率的行列積の理論とKingmanの部分加法的エルゴード定理を用いる。
• Cartan分解と指数的モーメント条件を適用して、強収束性と大偏差推定を保証する。
• 表現論的構成を用いて、$\mathbf{G} \times \mathbf{G}$ 上のトレース関数のゼロ集合としてZariski非稠密性を符号化する。
• Zariski稠密性の問題を、確率ウォークに沿ってトレース関数がゼロになる確率の減衰に還元する。
• 部分加法的エルゴード定理を用いて、トレース関数の対数の正規化された対数がほとんど確実に正のリャプノフ指数に収束することを示す。
• 大偏差不等式を適用して、ウォークが適切な部分多様体にとどまる確率が指数的に減衰することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非定数多項式 $P$ が $SL_2(\mathbb{R})$ の行列成分に関して定義されるとき、$SL_2(\mathbb{R})$ 上の非初等的確率ウォークは、すべての適切な代数的部分多様体から指数的速さで脱出するか？
• RQ2 代数的部分多様体からの脱出は、$\mathbb{R}$ 上の単純で分かれた代数的群へ一般化可能か？
• RQ3 半単純群のZariski稠密な2つの部分群 $\Gamma_1, \Gamma_2$ 上で、2つの独立した確率ウォークに対して、Zariski稠密性が一般に成り立つか？
• RQ4 算術的性質や有限生成性に依存しない、算術的スクリーニング技術の代替として、確率的手法が一般性のあるZariski稠密性を示すために利用可能か？

主な発見

• 任意の非定数多項式 $P$ について、$SL_2(\mathbb{R})$ の行列成分に関して、$\frac{1}{n}\log|P(S_n)|$ はほとんど確実に正の $\lambda > 0$ に収束し、これは任意の適切な代数的部分多様体からの指数的脱出を示している。
• 任意の適切な代数的部分多様体 $\mathcal{V}$ に対して、$\mathbb{P}(S_n \in \mathcal{V})^{1/n}$ の $\limsup$ は 1 よりも厳密に小さい。これは非再帰性を示している。
• $SL_2(\mathbb{R})$ では、確率ウォークが適切な代数的部分多様体にとどまる確率は指数的に速く減少する。
• $SL_d(\mathbb{R})$ のZariski稠密な2つの部分群 $\Gamma_1, \Gamma_2$ に対して、指数的モーメントを持つ確率測度が存在し、2つの独立した確率ウォークによって生成される部分群がZariski稠密かつ自由である確率は、ある $c \in (0,1)$ に対して $1 - c^n$ 以上である。
• $SL_2(\mathbb{R})$ では、結果が強化される：任意のこのような測度 $\mu_1, \mu_2$ に対して、Zariski非稠密性の確率は指数的に減少する。
• 本手法により、自由かつZariski稠密な部分群が確率的ウォークから一般に生じることを示す確率的証明が得られ、Titsの代替定理の一般形が示された。