[論文レビュー] A spinorial analogue of Aubin's inequality

Bernd Ammann, Jean-François Grosjean+2 more|ArXiv.org|Aug 12, 2003

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、次元 $ n \geq 2 $ のコンパクトなリーマン的スピン多様体に対して、アウビンの不等式のスピン性類似形を確立する。具体的には、スカラー曲率を考慮したディラック作用素の第一正固有値の下界が、体積の $ 1/n $ 乗で正規化されたものについて、上界 $ \frac{n}{2} \omega_n^{1/n} $ が成り立つことを証明する。等号は標準球面で達成される。証明は、$ S^n $ からのキリングスピンルールをステレオグラフィック射影によって引き戻し、臨界ケース $ n=2 $ の非自明なディラック核に対処するため対数的カットオフ関数を用いたテストスピンルールを構成する。

ABSTRACT

Let $(M,g,\si)$ be a compact Riemannian spin manifold of dimension $\geq 2$. For any metric $ ilde g$ conformal to $g$, we denote by $ ildeλ$ the first positive eigenvalue of the Dirac operator on $(M, ilde g,\si)$. We show that $$\inf_{ ilde{g} \in [g]} ildeλ\Vol(M, ilde g)^{1/n} \leq (n/2) \Vol(S^n)^{1/n}.$$ This inequality is a spinorial analogue of Aubin's inequality, an important inequality in the solution of the Yamabe problem. The inequality is already known in the case $n \geq 3$ and in the case $n = 2$, $\ker D=\{0\}$. Our proof also works in the remaining case $n=2$, $\ker D eq \{0\}$. With the same method we also prove that any conformal class on a Riemann surface contains a metric with $2 ildeλ^2\leq ildeμ$, where $ ildeμ$ denotes the first positive eigenvalue of the Laplace operator.

研究の動機と目的

• スピン共形不変量 $ \lambda_{\rm min}^{+}(M,g,\sigma) $ の鋭い上界を確立すること。これは、$ g $ に共形的なすべての計量 $ \tilde{g} $ に対して、$ \lambda_1^+(\tilde{g}) \cdot {\rm Vol}(M,\tilde{g})^{1/n} $ の下界として定義される。
• ディラック作用素の核が非自明である場合に、従来の手法（グローディの不変量に基づく手法も含む）が失敗した、次元 $ n=2 $ の未解決ケースを解消すること。
• すべての次元 $ n \geq 2 $ にわたって一様に適用可能な証明法を提供すること。特に、これまで問題視されていた $ n=2 $、$ \ker D \neq \{0\} $ の場合を含む。
• この方法を拡張し、リーマン面におけるディラック作用素とラプラシアンの第一正固有値の関係を示す新しい不等式を導出すること。

提案手法

• ステレオグラフィック射影を用いて、球面 $ S^n $ からのキリングスピンルールを引き戻し、$ \mathbb{R}^n $ 上にテストスピンルールを構成する。これにより、$ D\psi = c|\psi|^{2/(n-1)}\psi $ の解が得られる。
• このスピンルールをスケーリングし、対数的カットオフ関数 $ \eta $ を用いて切り詰める。この関数はアニュラーエリアでゆっくりと 1 から 0 へ減少し、ディラックノルムにおける勾配項の寄与を最小化する。
• ボルギュア・ゴーションのスピンルールバンドルの自明化を用いて、点 $ p \in M $ の近傍に切り詰めたスピンルールを移植する。これにより、ディラック作用素のテイラー展開が簡略化される。
• パrameter $ \varepsilon $ が 0 に近づく極限における漸近展開を用いて、$ D\psi $ の $ L^2 $ ノルムおよび内積 $ \int \langle D\psi, \psi \rangle $ を推定する。ここで $ \varepsilon $ はスピンルールの台の大きさを制御する。
• 変分的特徴づけ $ \lambda_{\rm min}^{+}(M,g,\sigma) = \inf_\psi J(\psi) $ を用いる。ここで $ J(\psi) = \left( \int |D\psi|^{2n/(n+1)} \right)^{(n+1)/n} / \int \langle D\psi, \psi \rangle $ であり、共形不変量を上から抑える。
• $ n=2 $ の場合、対数的カットオフ関数を用いて勾配の $ L^2 $ ノルムを制御し、この次元で従来の手法が失敗した問題を克服する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 $ n \geq 2 $ のコンパクトなスピン多様体上でのスピン共形不変量 $ \lambda_{\rm min}^{+}(M,g,\sigma) $ の鋭い上界は何か？
• RQ2 ディラック作用素の核が非自明である場合、$ n=2 $ のとき、アウビンの不等式のスピン性類似形は証明可能か？ これは従来、未解決であった。
• RQ3 $ n \geq 3 $ で用いられた同じ手法が、$ n=2 $ に拡張可能か？ 特に、ディラック作用素の核が非自明な場合に有効か？
• RQ4 リーマン面において、共形変換の下で、ディラック作用素とラプラシアンの第一正固有値の間に何らかの関係があるか？
• RQ5 $ S^n $ 上のキリングスピンルールから得られるテストスピンルールを用いて、変分原理により共形不変量を上から抑えることは可能か？

主な発見

• すべての次元 $ n \geq 2 $ のコンパクトなスピン多様体に対して、不等式 $ \lambda_{\rm min}^{+}(M,g,\sigma) \leq \frac{n}{2} \omega_n^{1/n} $ が成り立ち、等号は $ (M,g,\sigma) = (S^n, g_{\text{std}}, \sigma_{\text{std}}) $ のとき達成される。
• 長年の未解決であった $ n=2 $、$ \ker D \neq \{0\} $ の場合を、従来の手法がカットオフ関数の寄与が大きいため失敗した状況を解決した。
• $ n=2 $ の場合、不等式 $ \inf_{\bar{g} \in [g]} \frac{\lambda_1^+(\bar{g})^2}{\mu_1(\bar{g})} \leq \frac{1}{2} $ が得られる。ここで $ \mu_1 $ はラプラシアンの第一正固有値である。
• 漸近的解析により、カットオフ関数の勾配の寄与が $ \delta \to 0 $ の極限で消えることが示され、不等式の鋭さが保証される。
• 構成されたテストスピンルールにおいて、$ \int |D\psi|^2 \to 8\pi $ および $ \int \langle D\psi, \psi \rangle \to 4\pi\varepsilon $ となる極限において、最終的な不等式 $ \lambda_{\rm min}^{+}(M,g,\sigma)^2 \cdot {\rm Vol}(M) \leq 4\pi + o(1) $ が得られる。
• 結果として、標準球面が不等式の上限を達成することが確認され、本手法はすべての次元（特に $ n=2 $ を含む）に一様に適用可能であることが示された。