[論文レビュー] A splitting theorem for Kahler manifolds with constant eigenvalues of the Ricci tensor

Vestislav Apostolov, Tedi Drăghici+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2000

Geometry and complex manifolds被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、2つの異なる定数で非負のリッチ固有値をもつコンact Kähler多様体が、局所的に2つのKähler-Einstein多様体の積であることを証明し、さまざまな複素次元における、非可約な例（同次および非同次）を構成している。負の固有値を含む例は、4より大きい偶数次元の実次元における完全なEinstein厳密なほぼKähler計量をもたらす。

ABSTRACT

Abstract. It is proved that a compact Kähler manifold whose Ricci tensor has two distinct constant non-negative eigenvalues is locally the product of two Kähler-Einstein manifolds. A stronger result is established for the case of Kähler surfaces. Irreducible Kähler manifolds with two distinct constant eigenvalues of the Ricci tensor are shown to exist in various situations: there are homogeneous examples of any complex dimension n ≥ 2 with one eigenvalue negative and the other one positive or zero; there are homogeneous examples of any complex dimension n ≥ 3 with two negative eigenvalues; there are non-homogeneous examples of complex dimension 2 with one of the eigenvalues zero. The problem of existence of Kähler metrics whose Ricci tensor has two distinct constant eigenvalues is related to the celebrated (still open) Goldberg conjecture [24]. Consequently, the irreducible homogeneous examples with negative eigenvalues give rise to complete Einstein strictly almost Kähler metrics of any even real dimension greater than 4. 2000 Mathematics Subject Classification. Primary 53B20, 53C25 1.

研究の動機と目的

• リッチテンソルの2つの異なる定数で非負の固有値をもつコンパクトKähler多様体の分解定理を確立すること。
• 特に負またはゼロの固有値を含む場合に、2つの異なる定数リッチ固有値をもつ非可約Kähler多様体の存在を調査すること。
• このような計量の存在が、ほぼKählerEinstein多様体に関する未解決のゴールドバーグ予想とどのように関係するかを明らかにすること。
• さまざまな複素次元において、明示的な同次および非同次例を構成すること。
• 2つの負の固有値、または1つの負と1つのゼロ／正の固有値をもつ非可約例が、高次元に存在することを示すこと。

提案手法

• 定数固有値をもつコンパクトKähler多様体におけるリッチテンソルの構造を用いて、曲率分解を分析する。
• 微分幾何的技法を適用し、特にリッチ曲率を定数固有値をもつ対称自己準同型写像として用いる。
• 表現論と同次空間の構成を用いて、複素次元 n ≥ 2 および n ≥ 3 の例を生成する。
• ほぼ複素構造の積分可能性条件とEinstein計量との整合性を分析する。
• 定数リッチ固有値は、非退化性の仮定の下で、ある種のホロノミーの縮小または局所的積構造を意味することを用いる。
• Kähler-Einstein多様体の分類および同次例から導かれる厳密なほぼKähler計量の性質に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの異なる定数で非負のリッチ固有値をもつコンパクトKähler多様体が、いつ局所的に2つのKähler-Einstein多様体の積に分解されるか。
• RQ2 特に1つまたは両方の固有値が負である場合に、2つの異なる定数リッチ固有値をもつ非可約Kähler多様体を構成できるか。
• RQ3 このような計量の存在と、ほぼKählerEinstein多様体に関するゴールドバーグ予想との関係は何か。
• RQ4 複素次元 n ≥ 3 において、2つの負のリッチ固有値をもつ同次例は存在するか。
• RQ5 複素次元2において、1つのゼロリッチ固有値をもつ非同次例は構成可能か。

主な発見

• 2つの異なる定数で非負のリッチ固有値をもつコンパクトKähler多様体は、局所的に2つのKähler-Einstein多様体の積に等長である。
• 任意の複素次元 n ≥ 2 において、1つの負と1つの正またはゼロのリッチ固有値をもつ非可約同次Kähler多様体が存在する。
• 任意の複素次元 n ≥ 3 において、2つの負のリッチ固有値をもつ同次例が存在する。
• 複素次元2において、1つのゼロリッチ固有値をもつ非同次例が存在する。
• 2つの負の固有値をもつ非可約同次例は、4より大きい偶数次元の実次元における完全なEinstein厳密なほぼKähler計量をもたらす。
• これらの結果は、Einstein厳密なほぼKähler計量の新規な構成を提供し、未解決のゴールドバーグ予想の側面を解決する。