[論文レビュー] Stability under deformations of Hermitian-Einstein almost-K\"ahler metrics

Mehdi Lejmi|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2012

Geometry and complex manifolds被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、4次元コンパクトなシンプレクティック多様体上の滑らかな1パrameter族の相性のとれたほぼ複素構造の変形に関して、ヘルミート・アインシュタインほぼケーラー計量の安定性を確立し、初期計量のヘリオメトリックスカラー曲率が0または負であり、いくつかの技術的仮定を満たす場合に、定数ヘリオメトリックスカラー曲率をもつような計量を誘導する滑らかな族の存在を証明する。

ABSTRACT

On a 4-dimensional compact symplectic manifold, we consider a smooth family of compatible almost-complex structures such that at time zero the induced metric is Hermite-Einstein almost-Kahler metric with zero or negative Hermitian scalar curvature. We prove, under certain hypothesis, the existence of a smooth family of compatible almost-complex structures, diffeomorphic at each time to the initial family, and inducing constant Hermitian scalar curvature metrics.

研究の動機と目的

• 相性のとれたほぼ複素構造の滑らかな変形に関して、ヘリオメトリック・アインシュタインほぼケーラー計量の安定性を調査すること。
• 定数ヘリオメトリックスカラー曲率をもつような、相性のとれたほぼ複素構造の滑らかな族が構成可能かどうかを特定すること。
• このような変形がヘリオメトリック・アインシュタイン性およびスカラー曲率の定数性を保つ条件を分析すること。
• 定数ヘリオメトリックスカラー曲率計量に関する結果を、ほぼケーラー設定におけるほぼ複素構造の族へと拡張すること。
• このような安定族の存在を保証する十分条件を、初期ヘリオメトリックスカラー曲率（0または負）および技術的仮定を含めて確立すること。

提案手法

• 4次元コンパクトなシンプレクティック多様体上における相性のとれたほぼ複素構造の滑らかな1パrameter族を用いる。
• 誘導される計量がヘリオメトリック・アインシュタインであり、ヘリオメトリックスカラー曲率が0または負であるという初期条件を課す。
• 初期ほぼ複素構造を保ちつつ、シンプレクティック形式と相性を保つように変形するため、陰関数定理の技法を適用する。
• 幾何解析的手法を用いて、変形下でのヘリオメトリックスカラー曲率を制御し、それが常に一定のまま保たれることを保証する。
• 各時刻において、初期族の構造を保存する滑らかな微分同相写像族の存在に依存する。
• 変形問題の可解性および得られる計量の正則性を保証するため、初期族に技術的仮定を課す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元コンパクトなシンプレクティック多様体上におけるヘリオメトリック・アインシュタインほぼケーラー計量が、相性のとれたほぼ複素構造の変形に関して、どのような条件下で安定するか。
• RQ2 定数ヘリオメトリックスカラー曲率をもつような、相性のとれたほぼ複素構造の滑らかな族を構成可能か。
• RQ3 初期ヘリオメトリックスカラー曲率の符号（0または負）が、このような安定族の存在にどのように影響するか。
• RQ4 変形されたほぼ複素構造およびそれに関連する計量の存在性と正則性を保証するためには、どのような技術的仮定が必要か。
• RQ5 変形プロセス全体を通じて、ヘリオメトリック・アインシュタイン性および定数ヘリオメトリックスカラー曲率を維持することは可能か。

主な発見

• 各時刻において初期族と微分同相であるような、相性のとれたほぼ複素構造の滑らかな族が存在し、それによって誘導される計量は定数ヘリオメトリックスカラー曲率をもつ。
• 初期計量がヘリオメトリック・アインシュタインであり、ヘリオメトリックスカラー曲率が0または負であるという仮定のもとで、このような族の存在が保証される。
• 変形プロセスは、族全体を通じてシンプレクティック構造およびほぼ複素構造との相性を保つ。
• 変形方程式の可解性および得られる構造の正則性を保証するため、技術的仮定に依存している。
• この結果は、4次元設定におけるヘリオメトリック・アインシュタインほぼケーラー計量の滑らかな1パrameter変形に関して、ある種の安定性を確立する。
• 構成法により、ヘリオメトリックスカラー曲率が計量族全体にわたり一定のまま保たれる。