[論文レビュー] A stabilized cut finite element method for partial differential equations on surfaces: The Laplace-Beltrami operator

Erik Burman, Peter Hansbo+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2013

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、表面が四面体メッシュに埋め込まれた状態で、連続的かつ分(piecewise)線形関数を表面に制限することにより、Laplace-Beltrami方程式を解く安定化されたカット有限要素法を提案する。法線勾配のジャンプを制御する一貫性のある安定化項により、表面の位置に依存しない最適な条件数の境界が保証され、エネルギーノルムおよび$L^2$ノルムにおける最適な$O(h^2)$収束が可能になる。

ABSTRACT

We consider solving the Laplace-Beltrami problem on a smooth two dimensional surface embedded into a three dimensional space meshed with tetrahedra. The mesh does not respect the surface and thus the surface cuts through the elements. We consider a Galerkin method based on using the restrictions of continuous piecewise linears defined on the tetrahedra to the surface as trial and test functions. The resulting discrete method may be severely ill-conditioned, and the main purpose of this paper is to suggest a remedy for this problem based on adding a consistent stabilization term to the original bilinear form. We show optimal estimates for the condition number of the stabilized method independent of the location of the surface. We also prove optimal a priori error estimates for the stabilized method.

研究の動機と目的

• 背景メッシュに対する表面の位置に敏感な条件数の問題を解消する。
• unfitted メッシュを用いたPDEの解法において、標準的なカット有限要素法が示す深刻な悪条件性に対処する。
• 最適な収束率を維持しながら数値的安定性を向上させる一貫性のある安定化項を開発する。
• 表面の幾何形状に依存しない条件数および誤差推定の理論的保証を確立する。
• 将来のHelmholtz問題やバルク-表面結合問題への拡張を含め、複雑な表面PDEのための堅牢なフレームワークを提供する。

提案手法

• 背景の四面体要素上で定義された連続的かつ分(piecewise)線形有限要素を用い、それを表面に制限する。
• 表面と交差する要素面における法線勾配のジャンプをペナルティ化する安定化項を導入する。
• 条件数の改善を図るため、安定化されたバナッハ型双一次形式に基づく一貫性のあるガレルキン法を定式化する。
• 離散的Poincaré型推定を活用し、表面の位置に依存しない条件数の境界を導出する。
• 離散関数を表面から連続表面に写像するリフト作用素を用い、誤差解析に活用する。
• 接線微積分および表面微分作用素（Laplace-Beltrami作用素）を用いて、表面における弱形式を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 表面に不適合な有限要素法の悪条件性を解消する一貫性のある安定化項を設計できるか？
• RQ2 安定化された方法は、Laplace-Beltrami問題においてエネルギーノルムおよび$L^2$ノルムで最適な収束率を達成するか？
• RQ3 離散系の条件数が背景メッシュに対する表面の位置に依存せずに境界づけられるか？
• RQ4 実際の計算において、安定化された方法は不安定化された方法と比較して、条件数および収束特性にどのように影響を与えるか？
• RQ5 理論的結果は、Helmholtz方程式などのより複雑な表面PDEに拡張可能か？

主な発見

• 安定化された方法は、背景メッシュ内での表面の位置に依存しない最適な条件数境界$O(h^{-2})$を達成する。
• 離散解に関して、エネルギーノルムおよび$L^2$ノルムの両方で最適な$O(h^2)$収束率が証明されている。
• 数値実験により、安定化された方法が最適な収束率を維持していることが確認された一方、不安定化された方法は悪条件性と誤ったゼロ固有値を示した。
• 安定化なしでは条件数が$O(h^{-2})$の割合で増大するが、安定化により条件数が著しく改善され、特に対角スケーリングと組み合わせると顕著である。
• 安定化項は離散関数の法線微分を効果的に制御し、任意の表面配置による悪条件性を防止する。
• 表面が要素を貫通しても方法は堅牢であり、弱形式と一貫性を持つ安定化が実現されている。