[論文レビュー] A stochastic control approach to no-arbitrage bounds given marginals, with an application to lookback options

Alfred Galichon, Pierre Henri-Labordère+1 more|Sciences Po publications|Jan 16, 2014

Stochastic processes and financial applications被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、原資産の満期における周辺分布のみが既知である状況下で、デリバティブ価格に対するロバストなアービテージフリー境界を計算するための確率的制御に基づく双対性フレームワークを導入する。スーパヘッジング問題を連続マルティンゲール最適輸送問題として定式化することにより、古典的なスコロホド埋め込み法が要請する時間変換不変性の制限を回避し、数値近似が可能となる。本手法は、ルックバックオプションのアゼーマ＝イヨル解を特別な場合として回復する。

ABSTRACT

We consider the problem of superhedging under volatility uncertainty for an investor allowed to dynamically trade the underlying asset, and statically trade European call options for all possible strikes with some given maturity. This problem is classically approached by means of the Skorohod Embedding Problem (SEP). Instead, we provide a dual formulation which converts the superhedging problem into a continuous martingale optimal transportation problem. We then show that this formulation allows us to recover previously known results about lookback options. In particular, our methodology induces a new proof of the optimality of Azéma-Yor solution of the SEP for a certain class of lookback options. Unlike the SEP technique, our approach applies to a large class of exotics and is suitable for numerical approximation techniques.

研究の動機と目的

• 原資産の満期における周辺分布のみが既知である状況下で、ボラティリティの不確実性が存在する場合のロバストなスーパヘッジングフレームワークを構築すること。
• 時間変換不変性を要件とする古典的スコロホド埋め込み問題（SEP）の制限を克服すること。これは特定のエグゾチックデリバティブに限定された適用性を生じさせる。
• 連続マルティンゲール過程を通じて最適輸送理論と結びつく双対性定式化を確立することにより、ロバストなスーパヘッジングを定式化すること。
• 提案された双対性を用いて、解析的解にとどまらず、数値的近似によるアービテージフリー境界の計算を可能とすること。
• 提案されたフレームワークを用いて、ルックバックオプションのアゼーマ＝イヨル解の最適性を再導出し、新たな証明を提供すること。

提案手法

• ベンアモ＝ブレニエおよびヴィラーニのインスピレーションを受けて、カンタロヴィッチ双対性を用いて、ロバストなスーパヘッジング問題を双対的最適制御問題として定式化する。
• 動的価値過程 $ V_t(\omega) = \sup_{P \in P_t^\infty} E^P_\omega[\xi] $ を定義する。これは、各確率測度のもとで時刻 $ t $ における最小スーパヘッジングコストを表し、右連続である半マルティンゲールである。
• Doob-Meyer分解を $ V_t $ に適用し、$ V_t = V_0 + \int_0^t \hat{H}_s dB_s - K^P_t $ を得る。ここで $ \hat{H} $ は最適制御であり、$ K^P $ は非減少補償過程である。
• $ X^{\hat{H}} = V_0 + \int_0^\cdot \hat{H}_s dB_s $ がすべての $ P \in P^\infty_\infty $ においてマルティンゲールであり、かつ $ X^{\hat{H}}_T \geq \xi $ であることを示す。これにより $ V_0 \geq \sup_P E^P[\xi] $ が導かれる。
• 最適性を保証するための最小性条件 $ \inf_P E^P[K^P_T] = 0 $ を用いることで、ヘッジ戦略の最適性と双対ギャップのゼロを保証する。
• 本フレームワークをルックバックオプションに適用し、双対定式化を通じてアゼーマ＝イヨル解が最適解として回復されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スコロホド埋め込み問題に依存せずに、双対性に基づく確率的制御フレームワークを構築し、ロバストなアービテージフリー境界を計算できるか。
• RQ2 提案された双対定式化は、より広いクラスのエグゾチックデリバティブにおけるスーパヘッジングコストの数値的近似を可能にするか。
• RQ3 本新規双対フレームワークを用いて、ルックバックオプションのアゼーマ＝イヨル解を再導出し、その最適性を証明できるか。
• RQ4 動的価値過程 $ V_t $ は、スーパヘッジング問題と最適輸送、確率的制御を結ぶ役割を果たすか。
• RQ5 補償過程 $ K^P $ の最小性条件は、双対定式化におけるヘッジ戦略の最適性をどのように保証するか。

主な発見

• 提案された双対定式化により、ロバストなスーパヘッジング問題が連続マルティンゲール最適輸送問題に変換され、スコロホド埋め込み法が要請する時間変換不変性に依存しない新たな解のクラスが得られる。
• すべての確率測度 $ P^\infty_\infty $ において、動的価値過程 $ V_t $ が右連続半マルティンゲールであることが示され、Doob-Meyer分解の存在が保証される。
• 価値過程の二次変動から導かれる最適制御 $ \hat{H} $ は、すべての関連測度においてマルティンゲールであるスーパーリプレイケーション戦略を定義する。
• 双対ギャップはゼロである：$ V_0 = \sup_P E^P[\xi] $。これは、双対定式化が正確なロバストなスーパヘッジングコストをもたらすことを確認する。
• ルックバックオプションの場合、本フレームワークによりアゼーマ＝イヨル解が最適解として再現され、時間変換されたブラウン運動に依存せずにその最適性の新たな証明が提供される。
• 本手法は数値的に取り扱えることが示され、ボンナーンズとタン [5]、タンとトゥジ [38] のような近似手法との整合性を示している。