[論文レビュー] A strange relationship between 2d CFT and 4d gauge theory

Yuji Tachikawa|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 35被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、2次元共形場理論（CFT）におけるコherent状態のノルムと4次元 $\nabla=2$ 超対称ゲージ理論におけるインスタントン分配関数の間の明確な対応関係を確立する。局在化技術と弦理論／M理論の双対性を用いて、特定のパラメータ写像のもとで両者の量が正確に一致することを示し、単純ではあるが非自明な設定においてAGT対応の具体的実現を与える。

ABSTRACT

A relationship between 4d gauge theory and 2d CFT will be reviewed from the very basics. We will first cover the introductory material on the 2d CFT and on the instantons of 4d gauge theory. Next we will explicitly calculate and check the agreement of the norm of a coherent state on the 2d side and the instanton partition function on the 4d side. We will then see how this agreement can be understood from the perspective of string and M theory.

研究の動機と目的

• 2次元CFTのコherent状態と4次元 $\nabla=2$ ゲージ理論におけるインスタントン分配関数の間の明確な対応関係を確立すること。
• 摂動的展開のレベルで、2次元CFTのコherent状態のノルムと4次元インスタントン分配関数の一致を計算して検証すること。
• 特に6次元 $\nabla=(2,0)$ 理論を介した弦理論およびM理論の枠組み内で、観察された対応関係を解釈すること。
• 2次元CFTと4次元インスタントン計算の両方の基礎的かつ教育的なレビューを提供し、両側の直接比較を可能にすること。
• 2つの見かけ上無関係な物理的量の一致の背後にある数学的起源を、幾何学的および代数的技法を用いて明確にすること。

提案手法

• Virasoro代数を用いて、$\nabla$（L0固有値）および$\nabla$（コherent状態パラメータ）でパrameter化された2次元CFTにおけるコherent状態を構成する。
• フォック空間の演算子積展開および内積構造を用いて、$\nabla^4$ 次までのコherent状態のノルムを計算する。
• 局在化技術を用いて4次元インスタントン分配関数を計算し、インスタントン数 $q$ のべき級数に展開する。
• 2次元CFTのパラメータ（$\nabla$, $\nabla$, $c$）と4次元ゲージ理論のパラメータ（$\epsilon_1$, $\epsilon_2$, $a$）との間の関係を、以下の式で定める：$\nabla = \frac{1}{\epsilon_1\epsilon_2}\left(\frac{(\epsilon_1+\epsilon_2)^2}{4}-a^2\right)$, $\nabla^2 = \frac{q}{(\epsilon_1\epsilon_2)^2}$, $c = 1 + 6\frac{(\epsilon_1+\epsilon_2)^2}{\epsilon_1\epsilon_2}$。
• CFTノルムとインスタントン分配関数の両方の級数展開を明示的に実行し、各次数ごとに係数を比較する。
• この一致を、リーマン面への6次元 $\nabla=(2,0)$ 理論の compactification として解釈し、4次元理論がM理論の円へのcompactificationから生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元CFTにおけるコherent状態のノルムを明示的に計算し、4次元ゲージ理論の観測可能量と一致させることは可能か？
• RQ2 2次元CFTのコherent状態ノルムと4次元インスタントン分配関数を等しくする正確なパラメータ写像は何か？
• RQ3 観察された両者の一致は、M理論のような統一された高次元理論からどのように生じるか？
• RQ4 Virasoro代数およびそのフォック空間構造は、この対応関係を実現するために果たす役割は何か？
• RQ5 この一致は、弦理論におけるcompactificationと双対性の結果として理解できるか？

主な発見

• 2次元CFTのコherent状態 $\langle\nabla,\nabla|\nabla,\nabla\rangle$ のノルムは $\nabla^4$ 次まで計算され、$1 + \frac{\nabla^2}{2\nabla} + \frac{\nabla^4(c+8\nabla)}{4\nabla((1+\nabla)c-10\nabla+16\nabla^2)} + \cdots$ となる。
• 4次元インスタントン分配関数 $Z^{\text{instanton}}_{\epsilon_1,\epsilon_2,a}$ は $q^2$ 次まで計算され、$1 + \frac{q}{\epsilon_1\epsilon_2}\frac{2}{(\epsilon_1+\epsilon_2)^2-4a^2} + \frac{q^2}{\epsilon_1^2\epsilon_2^2}\frac{8(\epsilon_1+\epsilon_2)^2+\epsilon_1\epsilon_2-8a^2}{((\epsilon_1+\epsilon_2)^2-4a^2)((2\epsilon_1+\epsilon_2)^2-4a^2)((\epsilon_1+2\epsilon_2)^2-4a^2)} + \cdots$ となる。
• パラメータ写像 $\nabla^2 = \frac{q}{(\epsilon_1\epsilon_2)^2}$, $\nabla = \frac{1}{\epsilon_1\epsilon_2}\left(\frac{(\epsilon_1+\epsilon_2)^2}{4}-a^2\right)$, および $c = 1 + 6\frac{(\epsilon_1+\epsilon_2)^2}{\epsilon_1\epsilon_2}$ の下で、両方の級数は各次数ごとに正確に一致する。
• この一致は、リーマン面上への6次元 $\nabla=(2,0)$ 理論のcompactificationに起因すると解釈され、4次元理論はM理論の円へのcompactificationから生じる。
• この一致は、基本的超対称ヤン・ミルズ理論（物質を含まない）におけるAGT対応の明確な実現である。
• 計算により、4次元ゲージ理論におけるインスタントン分配関数が2次元CFTにおけるコherent状態のノルムを計算することを確認し、AGT対応の非摂動的検証を提供する。