[論文レビュー] A strictly-functorial and small dg-enhancement of the derived category of perfect complexes

Emanuel Rodríguez Cirone|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、noether環 k 上の有限型スキームの完全複体の導来圏の厳密なファンクター性と小さな dg-強化を構成する。拡張によるゼロモジュールと直接和による複体の分解を用いて、明示的に小規模な dg-カテゴリの前層を定義することで、dg-カテゴリの零番目のコホロロジーが完全複体の導来圏を回復し、引き戻しは dg-ファンクターによって厳密に実現されるように保証する。

ABSTRACT

Let k be a commutative noetherian ring. We construct a strictly-functorial presheaf of small dg-categories over k on the category of k-schemes of finite type, which gives dg-enhancements of the derived categories of perfect complexes.

研究の動機と目的

• noether環 k 上の有限型 k-スキームの完全複体の導来圏の厳密なファンクター性を持つ dg-強化の詳細かつ明示的な構成を提供すること。
• グローテンディークのユニバースに依存せずに、関係する dg-カテゴリがすべて小さなカテゴリであることを保証し、文献における基礎的欠落を埋めること。
• 生成するモジュールの集合上で一意な構成を用いて、導来引き戻しファンクター Lf* を厳密なファンクター性を持つ dg-ファンクターとして実現すること。
• 構成された dg-カテゴリの零番目のコホロロジーが、古典的な導来圏 D_perf(𝔖) と自然に同値であることを確立すること。

提案手法

• 各開部分集合 V ⊆ 𝔖 に対して、O_𝔖,V := (i_V)! O_V を V の構造層の拡張（ゼロによる拡張）として定義する。
• f^⋆ を、このようなモジュールの全部分カテゴリ 𝔉_𝔖 に厳密なファンクター性を持つように定義する。f^⋆O_𝔖,V := O_𝔗,f⁻¹V とし、自然同型 θ_f,V を用いて射の写像を定義する。
• f^⋆ を直接和の直和としての複体の全 dg-カテゴリに拡張する。各次数で定義し、ホモロジー集合と直接和の関係を示す可換図式を介して、ホモロジー集合との整合性を保証する。
• Perf_𝔖 を、O_𝔖,V の有界上方の直接和の複体で、係数がねじれ的であるものからなる全部分カテゴリと定義する。さらに、写像コーンに関して閉じているものとする。
• 合成の尊重を検証する：g^⋆ ∘ f^⋆ = (fg)^⋆ が成り立ち、前層 𝔖 ↦ Perf_𝔖 の厳密なファンクター性が保証される。
• 誘導された dg-ファンクター f^⋆ が、正則複体を保存することを証明する。これにより、H⁰(Perf_𝔖) ≅ D_perf(𝔖) の商カテゴリ上での dg-ファンクターに誘導される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 noether環 k 上の有限型 k-スキームに対して、D_perf(𝔖) の厳密なファンクター性と小さな dg-強化を明示的に構成できるか？
• RQ2 グローテンディークのユニバースに依存せずに、導来引き戻しファンクター Lf* を厳密なファンクター性を持つ dg-ファンクターとして実現する方法は何か？
• RQ3 構成的 dg-強化を可能にする、自然で小さな生成モジュール集合とは何か？
• RQ4 この構成により、dg-カテゴリの零番目のコホロロジーが古典的な完全複体の導来圏と自然に同値であることが保証されるか？
• RQ5 自然なモジュール分解の選択により、引き戻しファンクターを厳密に結合的にすることができるか？

主な発見

• 構成により、Sch_k^op 上の厳密なファンクター性を持つ小さな dg-カテゴリの前層 𝔖 ↦ Perf_𝔖 が得られ、H⁰(Perf_𝔖) は D_perf(𝔖) と自然に同値である。
• 引き戻しファンクター f^⋆: Perf_𝔖 → Perf_𝔗 は厳密にファンクター的であり、g^⋆ ∘ f^⋆ = (fg)^⋆ を満たす。これにより、導来引き戻しの整合性問題が解決される。
• dg-ファンクター f^⋆: Perf_𝔖 → Perf_𝔗 は、零番目のコホロロジー上で古典的な左導来逆像ファンクター Lf^*: D_perf(𝔖) → D_perf(𝔗) を誘導する。
• グローテンディークのユニバースを避けるために、O_𝔖,V とその直接和を用いて、すべてが小さな明示的定義されたモジュールに限定している。
• 係数がねじれ的で有界上方の複体のカテゴリ 𝔛_𝔖 は、写像コーンに関して閉じており、すべての完全複体を含む。
• 重要な同型 θ_f,V: f^*O_𝔖,V → O_𝔗,f⁻¹V により、f^⋆ が生成モジュール上で f^* と一致し、この一致は dg-カテゴリ全体に厳密に拡張される。